9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
X ~ B 3, 0.4 . 于是，所求概率为 P X 1 1 P X 0
0 1 C3 0.40 0.63 0.784 .
8
例2.8 设随机变量X服从参数为 项分布，已知 P X 1 解 由
n, p 的二
19 求 P X 2 . , 27
若离散型随机变量X的概率分布由式（2.5）和
(2.4)给出，则称X服从参数为 n, M , N 的超几何
分布. 记作 X ~ H n, M , N .
19
分布列正则性验证：
k n k CM CN M p k n CN k k k n k C C M N M k n CN n CN n 1. CN
22
◆ 如果每抽一件产品放回后，再抽下一件 产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是n重 伯努利试验，那么所抽的n件产品的次品数 X ~ M B n, p , 其中 p 表示次品率. N ◆ 如果产品数量足够多，不放回与放回抽 样对下一次抽到次品还是正品影响甚微．于 n 是，当Ｎ很大，而 较小时，超几何分布可用 N 二项分布去近似．即 k n k CM CN n k k k M Cn p 1 p . n CN 23
25
例2.15 某人独立重复地做一个试验，已知
前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的2
倍，求每次试验成功的概率． 解 设每次试验成功的概率为 p, Ｘ表示首次 成功时的试验次数，则 X ~ G p . 从而 整理得
P X 2 2 P X 3 ,
P X 1 P X 2 2 P X 3 1 , 1 将(2.6)式代入，解得 p . 2
如果要计算
k n k n k
C p 1 p
k n k
n k

np
n很大 , p很小

k
k!
e .
14

这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为 np 的泊松分布的概率计算问题． 例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p

k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
26
几何分布的无记忆性： 设 X ~ G p , 则对
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 次试验结果，这就是无记忆性．
例2.14 设有一批产品，批量为1000件，假
定该批产品的次品率为1℅．若采用抽样方案 （150︱2），求接受这批产品为合格的概率．
解 此例中， N 1000 , M 1000 0.01 10,
n 150, 接受产品为合格的概率是
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2

k
k!
e

, k 0, 1, 2, ,
其中 0, 则称Ｘ服从参数为 记作 X ~ P .

的泊松分布，
11
分布列正则性验证：
pk
k 0 k 0



k
k!
e

e

k!
k 0


k
e e 1.
服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在： ◎服务系统在单位时间内来到的顾客数； ◎击中飞机的炮弹数； ◎大量螺钉中不合格品出现的次数； ◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数； ◎母鸡在一生中产蛋的只数．
16
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆，
设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率． 解 设X是每天内出现故障的出租汽车数，则
X ~ B 500, 0.01 ，
P X 10 P X k
k 0
k C 500 0.01k 0.99500 k k 0 10
12
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率． 解 P X 3 1 P X 3 1
2 k
P X k
k 0
2
1 1 对立事件公式 1 e 1 0.920 0.08. k 0 k !
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
查泊松分布 表（附表1）
13
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ B n, p ,
Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
P X k C p 1 p , k 那么可近似计算 P Y k e . 即 k!
19 3 P X 1 1 P X 0 1 1 p 27
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认
为新药有效的概率．
15
解
P X 3 C 0.1 0.9
k 3
10
10
k 10
k
10 k
1 1 e k 3 k !
二项分布的泊松
k
0.0803.
近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的． 如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
*六、几何分布
在一个每次成功概率为 p 的伯努利试验序列
中，用X表示首次成功时的试验次数，则X的所有
可能取值为1，2，…，其分布列为
P X k 1 p
k 1
p , k 1, 2, ,
称X服从参数为 p 的几何分布，记作 X ~ G p . 分布列正则性验证：
3
任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型
X
P
或用公式表示为
0 1 p
k
1
p
1 k
P X k p (1 p )
0, F x 1 p, 1,
, k 0, 1 .
此时，称Ｘ服从参数为 p 的0-1分布，其分布
x 0, 0 x 1， x 1.
超几何分布与抽样检验有密切的联系，下面 举一个计数抽样方案的例子．所谓计数抽样是对 产品的检验只分“好”与“次”两种情况，若在 一批 产品中随机抽取了n件产品，并规定若其中的次 品数≤c，则判定这批产品合格，否则判定不合 格，通常用 (n︱c)表示这个抽样方案．
20
制定一个计数抽样方案就是根据实际情况选 择合适n的和c．
§2.3几种重要的离 散型分布
1
一、单点分布
如果一个随机变量X只有一个取值Ｃ，则称X 服从单点分布．显然，它的分布列为
PX C 1,
分布函数为
0, x C , F x 1, x C .
任何常数都可以看作是一个随机变量，并称
为常数值随机变量．
2
二、两点分布
如果一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则 称Ｘ服从两点分布． ◆新生婴儿是男还是女； 都可以用一 ◆一次抽样的结果是正品还是次品； 个服从两点 分布的随机 ◆掷一枚骰子是否掷出点2； 变量来描述 ◆一次投篮是否投中； ◆一次投标是否中标．
p 1 p
k 1 k k 1


k 1
p p 1. 1 1 p
24
每个 pk 1 p
k 1
p 恰好是几何级数
1 p
k 1

k 1
p 中的各项，这就是“几何分布”
这一名称的由来． 几何 分布 大量 存在 ◎ 某种产品的次品率为0.01，则首次检 查到次品的检查次数 X ~ G 0.01 ; ◎ 某投篮手的命中率为0.8，则首次投中 时的投篮次数 Y ~ G 0.8 .
P X m n, X n P X m
max 0, M n N k min M , n .