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山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文科数学

烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测高三数学(文科)注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.2.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用2B 铅笔.要字迹工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效.3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的个选项中,只有一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.设集合A=2{|11},{|log 0}x x x B x x <->=>或,则A B =A. |1}x x >{ B . }0|>x x { C. }1|-<x x { D. }11|>-<x x x 或{ 【答案】A【解析】}1|{},1|{>=>=x x B A x x B ,故选A. 2.下列四个图像中,是函数图像的是【答案】B【解析】由函数定义知(2)不符合,故选B.3.若非空集合2{|11},{|log 0}x x x B x x <->=>或,且若a S ∈,则必有6a S -∈,则所有满足上述条件的集合S 共有A.6个B.7个C.8个D.9个 【答案】B【解析】由题意知,集合S 中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一组、两组、三组即S={3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2,4},故选B.4.某公司在甲乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为215.060.15L x x =-和22L x =,其中x 为销售量(单位:辆)。

若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为 A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51 【答案】B【解析】设在甲地销售x 辆车,则在乙地销售15-x 辆车.获得的利润为,3006.315.0)15(215.006.522++-=-+-=x x x x x y 当.2.10)15.0(206.3=-⨯-=x 时,y 最大,但N x ∈,所以当10=x 时,.6.45306.3015max =++-=y 故选B. 5.若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=w v u ,则下列结论中错误的是 A .v u ⊥ B .w v //C .v u w 3-=D .对任一向量AB ,存在实数b a ,,使v b u a AB +=【答案】C【解析】因为0=⋅v u ,所以v u ⊥;又因0)12(2)6(4=---⨯,所以w v //;u 与v 为不共线向量,所以对任一向量AB ,存在实数b a ,,使v b u a AB +=. 故选C. 6.下列命题中,正确的是A .若d c b a >>,,则bc ac >B .若bc ac >,则b a >C .若22cb ca <,则b a < D .若d c b a >>,,则d b c a ->-【答案】C【解析】由不等式的性质知C 正确.故选C.7.已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是A .24 ,0B .4, 24C .16,0D .4,0 【答案】D【解析】)6cos(88)sin cos 3(44444|2|222πθθθ+-=--+=⋅-+=-b a b a b a ,故|2|b a -的最大值为4,最小值为0.故选D.8.已知函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若0<c<1,则a 的取值范围是A. (1,3)B. (1,2)C.)3,2[D. [1,3] 【答案】B 【解析】由题意知21,120,10,2,13<<∴<-<∴<<=+⎩⎨⎧=++=+-a a c c a c b a c b a ,故选B.9.设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点M 、N ,则|MN|的最小值为A .2ln 2121+ B .2ln 2121- C . 2ln 1+ D .12ln -【答案】A【解析】x x MN ln ||2-=,令x x x f ln )(2-=xx xx x f 1212)('2-=-=,当220<<x 时,0)('<x f ;当22>x 时,0)('>x f ;∴当22=x 时,)(x f 有极小值也有极大值,即.2ln 212121ln21)22()(min +=-==f x f 故选A10.已知()()()2,log 0,1x a f x ag x x a a -==>≠,若()()440f g ⋅-<,则y=()f x ,y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是【答案】B【解析】由()()440f g ⋅-<知04log2<⋅aa ,04log<∴a,10<<∴a ,)(x f ∴为减函数,因此可排除A 、C ,而)(x g 在0>x 时也为减函数,故选B11. 某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时,原油温度(单位:℃)为),50(831)(23≤≤+-=x x x x f ,那么原油温度的瞬时变化率的最小值为A .8B .320 C .-1 D .-8【答案】C【解析】原油温度的瞬时变化率为),50(1)1(2)('22≤≤--=-=x x x x x f 故最小值为-1.因此选C.12.函数x y sin =的定义域为],[b a ,值域为]21,1[-,则a b -的最大值与最小值之差等于A. π4B.38π C. π2 D.34π【答案】C【解析】由正弦函数的图象知32)2(6)(min πππ=--=-a b ,,3465613)(max πππ=-=-a b 所以和为π2.故选C.二、填空题.本大题共有4个小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13. 在ABC ∆中,若π32,3,1=∠==C c b ,则._____________=∆ABC S【答案】【解析】由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+知1,022==-+a a a ,所以.4332sin 1121=⨯⨯⨯=∆πABC S14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥++≤-030101y x y x x ,则目标函数y x z +=23的最小值是__.【答案】【解析】可行域如图,显然当直线y x u +=2过M(-2,1)时,2713,33m i n m i n ==-=-z u .15.已知函数1|1|2+-=x x y 的图象与函数2+=kx y 的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是______________.【答案】140≠<<k k 且 【解析】函数2(1)(1)11|1|=1+11,11x xx x x x y x x xx +--><-⎧-==⎨+--<≤⎩,或,作出函数图象,直线2+=kx y 过定点A (0,2),其中(1,2)B --,4A B k =,根据图象可知要使两个函数的交点个数有两个,则直线斜率满足140≠<<k k 且。

16.下列命题: ①若函数)lg()(2a x x x f ++=为奇函数,则a =1;②函数|sin |)(x x f =的周期;π=T ③方程x x sin lg =有且只有三个实数根; ④对于函数x x f =)(,若210x x <<,则2)()()2(2121x f x f x x f +<+.以上命题为真命题的是 .(写出所有真命题的序号) 【答案】①②③【解析】由函数为奇函数知0)0(=f 即10lg =∴=a a .故①正确,易知②也正确,由图象可知③正确,④错误.三、解答题.本大题共6个小题,共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.(本小题满分12分) 已知向量)(θθθsin 2cos ,sin -=a ,)2,1(=b ,(1) 若b a //,求θtan 的值;(2)若||||b a =,πθ<<0,求θ的值.18.(本小题满分12分)已知a 是实数,试解关于x 的不等式:122---≥x ax x x19.(本小题满分12分)已知函数a R a a x x x x f ,(1cos 2cos sin 32)(2∈-++=是常数).(1)求)35(πf 的值;(2) 若函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,4-ππ上的最大值与最小值之和为3,求实数a 的值. 20.(本小题满分12分)已知函数x e x f x -=)((e 为自然对数的底数) (1)求)(x f 的最小值;(2)设不等式ax x f >)(的解集为P ,且P x x ⊆≤≤}20|{,求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分)为方便游客出行,某旅游点有50辆自行车供租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x (元)只取整数,并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1) 求函数)(x f y =的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?22.(本小题满分14分)函数c bx ax x x f +++=23)(,过曲线)(x f y =上的点P ))1(1f ,(的切线方程为.13+=x y .(1)若)(x f y =在2-=x 时有极值,求)(x f 的表达式; (2)在(1)的条件下,求)(x f y =在[-3,1]上的最大值;(3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围.高三数学(文科)答案一、选择题:1. A2. B3.B4.B5.C6.C7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.C 二、填空题: 13.43 14.271 15.140≠<<k k 且 16. ①②③17.解:(1)因为b a //,所以θθθsin 2cos sin 2-=, ………2分于是θθcos sin 4= ,故 41tan =θ ………4分(2) 由||||b a =知, ,5)sin 2(cos sin 22=-+θθθ所以,5sin 42sin 212=+-θθ ………6分 从而 4)2cos 1(22sin 2=-+-θθ即 12cos 2sin -=+θθ于是.22)42sin(-=+πθ ………9分又由πθ<<0知,,49424ππθπ<+<所以4542ππθ=+或.4742ππθ=+因此2πθ=或34πθ= ………12分18.解:原不等式同解为⎩⎨⎧≠≥-+10)1)((x x a x ………3分当1->a 时,原不等式的解集为,),1(],(+∞--∞ a ………6分 当1-=a 时,原不等式的解集为}1|R x x x ∈≠,{ ………9分 当1-<a 时,原不等式的解集为,),[)1,(+∞--∞a ………12分19.解:(1)a x x f ++=)62sin(2)(π………3分 2)6310sin(2)35(-=++=a a f πππ ………5分]1,23[)62sin(],32,3[62],4,4[)2(-=+-∈+∴-∈ππππππx x x ………7分ax f a +≤≤+-∴2)(3,即,2,3max min a y a y +=+-=………10分由已知得1,323=∴=+++-a a a ………12分20.解:(1),1)('-=x e x f 令0)('>x f ,解得0>x ;令0)('<x f ,解得0<x………3分从而在)0,(-∞内单调递减,),0(+∞内单调递增.所以,当0=x 时)(x f 取得最小值1. ………5分(2) 因为不等式ax x f >)(的解集为P ,且P x x ⊆≤≤}20|{, 所以,对任意的]2,0[∈x ,不等式ax x f >)(恒成立, ………6分由ax x f >)(得xe x a <+)1(.当0=x 时, 上述不等式显然成立,故只需考虑]2,0(∈x 的情况. ………7分 将xe x a <+)1(变形得1-<xea x………8分令1)(-=xex g x,2)1()('xex x g x-=令0)('>x g ,解得1>x ;令0)('<x g ,解得.1<x ………10分从而)(x g 在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增.所以,当1=x 时,)(x g 取得最小值1-e ,从而所求实数的取值范围是)1,(--∞e . ………12分21.解:(1)当6≤x 时,11550-=x y 令011550>-x ,解得3.2>x*,,63,3*,N x x x N x ∈≤≤∴≥∴∈ ………2分当6>x 时, ,115)]6(350[---=x x y 0115683,0115)]6(350[2<+->---x x x x 令 上述不等式的整数解为*),(202N x x ∈≤≤ *)(206N x x ∈≤<∴故⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=*),206(115683*),63(115502N x x x x N x x x y 定义域为*),203|{N x x x ∈≤≤ ………6分(2)对于*),63(11550N x x x y ∈≤≤-=,显然当6=x 时,185max =y (元) ………8分 对于*),206(3811)334(311568322N x x x x x y ∈≤<+--=-+-=当11=x 时,270max =y (元) ………10分185270> ,∴当每辆自行车的日租金定在11元时,才能使一日的净收入最多. ………12分22. 解:(1)由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2,过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y , 即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ,故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++30241323c b a b a c b a b a 即 ………3分∵)(x f y =在2-=x 处有极值,故.124-02-'-=+∴=b a f ,)( 联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………5分(2) )2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x f ,令0)('=x f 得.232-==x x 或………7分 列下表:x-3(-3,-2)-2(-2,32)32(32,1) 1)('x f + 0 — 0 +)(x f8 极大值极小值4因此,)(x f 的极大值为13)2(=-f ,极小值为2795)32(=f , 又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==- 在]1,3[-上的最大值为13.……10分(3))(x f y =在]1,3[-上单调递增,又b ax x x f ++=23)('2,由(1)知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02,依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ,即032≥+-b bx x 即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立;当)1,2[-∈x 时,)0,3[1-∈-x ,此时613)1(3132+-+-=-≥x x x xb ……12分而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x 当且仅当0=x 时成立0613)1(3≤+-+-∴x x 要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立,只须0≥b .……14分。

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