第六章《图形的相似》经典题型单元测试题一．选择题（每小题3分，共10小题）1.下列说法中不正确的是（ ）A. 相似多边形对应边的比等于相似比B. 相似多边形对应角平线的比等于相似比C. 相似多边形周长的比等于相似比D. 相似多边形面积的比等于相似比2.△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠A=30°，△ABC ∽△A ′B ′C ′，则∠C ′=（ ）A. 30°B. 60°C. 50°D. 75° 3.如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则NM ：MC 等于（ ） A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：5 4.如图，线段AB 与CD 交于点O ，下列条件中能判定AC ∥BD 的是（ ）A. OC=1，OD=2，OA=3，OB=4B. OA=1，AC=2，AB=3，BD=4C. OC=1，OA=2，CD=3，OB=4D. OC=1，OA=2，AB=3，CD=4． 5.如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =4，∠B =∠DAC ，则线段AC 的长为( )A. 2B. 22C. 3D. 23 6.如图，AB ∥CD ，点EAB 上，点F 在CD 上，AC 、BD 、EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，②AE DEAB BC=，③AD AEACAB=，使△ADE与△ACB一定相似（）A. ①②B. ②C. ①③D. ①②③8.如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝1：2，CF＝6，那么BF等于（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，某小区有一块平行四边形状（即图中平行四边形ABCD）土地，土地中有一条平行四边形小路（即平行四边形AECF），其余部分被直线l分割成面积分别为S1，S2，S3，S4四个区域，小区物业准备在这四个区域中种上不同的四种花卉，已知l∥AD，交AB于点M，1AMAB k=，则23SS=（）A.2212kk k++B.2121kk--C.2211kk--D.11k-10.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B，C重合），CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 二．填空题（每小题3分，共6小题）11.在比例尺为1﹕50000的地图上量出A、B两地的距离是8cm，那么A、B两地的实际距离是_____千米．12.如图，在△ABC中，DE∥AC，且AB=5cm，AD=2cm，BC=6cm，则BE=_____．13.已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB=2，则PQ=_____．（结果保留根号）14.如图，将△AOB以O为位似中心，扩大得到△COD，其中B（3，0），D（4，0），则△AOB与△COD的相似比为_____．15.如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC=5，△ABC的面积是10，那么这个正方形的边长是_____．16.如图，在直线l上摆放着三个三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=13CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3=20，则S1=_____，S2=_____．三．解答题（共7小题）17.如图．在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．（1）作出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A 2B 2C 2作出△A 2B 2C 2；（3）以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转90°，得到△A 3B 3C 3，作出△A 3B 3C 3，并求线段AC 扫过的面积．18.如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE 测量学校体育馆的高度．若标杆BE 的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD 的高度．19.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC ＝90°．（1）求证：△ADE ∽△BEC ．（2）若AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，求AB 的长．20.如图，在ABC ∆中，=90A ∠︒，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在ABC ∆的各边上，=3CE cm ，求BC 的长．21.如图，△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD DF AC CG=．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．23.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP 于E．（1）如图①，若P为AB的中点，则BFDF = ；BFAC= ；（2）如图②，若12APBP=时，证明：AC=4BF；（3）如图③，若P在BA的延长线上，当BFAC = 时，13APBP=．一．选择题（每小题3分，共10小题）1.下列说法中不正确的是（）A. 相似多边形对应边的比等于相似比B. 相似多边形对应角平线的比等于相似比C. 相似多边形周长的比等于相似比D. 相似多边形面积的比等于相似比【答案】D【解析】【分析】根据相似多边形的性质判断即可．【详解】若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；②相似多边形对应角平线的比等于相似比③相似多边形周长的比等于相似比，④相似多边形面积的比等于相似比的平方，故选D．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．2.△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=30°，△ABC∽△A′B′C′，则∠C′=（）A. 30°B. 60°C. 50°D. 75°【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的对应角相等即可得到答案．【详解】∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=30°，∴∠C=（180°﹣∠A）÷2=75°．∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=75°．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得等腰三角形底角的度数．3.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：5 【答案】B【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∵M是DE的中∴DM=ME=BC，∴，故选B.4.如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（）A. OC=1，OD=2，OA=3，OB=4B. OA=1，AC=2，AB=3，BD=4C. OC=1，OA=2，CD=3，OB=4D. OC=1，OA=2，AB=3，CD=4．【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例,因为OA OCOB OD=,所以AC∥BD,故选C.点睛:本题考查平行线分线段成比例,解决本题的关键是要熟练掌握平行线分线段成比例.5.如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )A. 2B. 22C. 3D. 3【答案】B【解析】【详解】解:∵△ABC中，AD是中线，BC=4，∴DC=2.∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴AC DCBC=，即：2428AC BC DC=⋅=⨯=.∴AC=2故选B【点睛】错因分析容易题.失分原因是：相似三角形的对应边对应关系搞混乱.6.如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】C【解析】【分析】 找图中的相似三角形，根据相似三角形的判定方法，有两组对应角相等的三角形相似即可判定.【详解】Q AB ∥CD ，∴,,,ABO CDO OAB OCD AOE FOC BOE FOD ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∴.AEO CFO ABO CDO BEO DFO V V V V V V ∽，∽，∽∴共有3对相似三角形．故选:C.【点睛】考查相似三角形的判定，有两组对应角相等的三角形相似是判定两个三角形相似的常用方法.7.如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B ，②AE DE AB BC =，③AD AE AC AB =，使△ADE 与△ACB 一定相似（ ）A. ①②B. ②C. ①③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】 根据相似三角形的判定方法即可一一判断； 【详解】解：∵∠A=∠A ，∠AED=∠B ，∴△AED ∽△ABC ，故①正确，∵∠A=∠A ，AD AE AC AB= ， ∴△AED ∽△ABC ，故③正确，由②无法判定△ADE 与△ACB 相似，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.8.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB ＝1：2，CF ＝6，那么BF 等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE ：EC ＝AD ：DB ＝1：2，BF ：FC ＝AE ：EC ＝1：2，计算即可．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴AE ：EC ＝AD ：DB ＝1：2， ∵EF ∥AB ，∴BF ：FC ＝AE ：EC ＝1：2， ∵CF ＝6，∴BF ＝3，故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 9.如图，某小区有一块平行四边形状（即图中平行四边形ABCD ）土地，土地中有一条平行四边形小路（即平行四边形AECF ），其余部分被直线l 分割成面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4四个区域，小区物业准备在这四个区域中种上不同的四种花卉，已知l ∥AD ，交AB 于点M ，1AM AB k=，则23S S =（ ）A. 2212k k k++ B. 2121k k -- C. 2211k k -- D. 11k - 【答案】C【解析】【分析】 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题；【详解】如图：∵l ∥AD ∥BC ，∴△AMN ∽△ABE ，△CGH ∽△CFD ，∴113S S S +=（AM AB ）2=42421S k S S +，=（BM AB）2=（1k k -）2，14S S =（11k -）2，∴S 3=（k 2﹣1）S 1，S 2=2211k k --（）•S 4 ∴23S S =2211k k --． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．10.如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列四个结论：①△CNB ≌△DMC ；②OM=ON ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2+CM 2=MN 2，其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】 据正方形的性质，依次判定△CNB ≌△DMC ，△OCM ≌△OBN ，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【详解】解：∵正方形ABCD 中，CD ＝BC ，∠BCD ＝90°，∴∠BCN ＋∠DCN ＝90°，又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM ＋∠DCN ＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°，∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；∵△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ，又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM＝ON故②正确，∵△OCM≌△OBN，∴∠COM＝∠BON，∴∠MON＝∠COB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形，∵△AOD也是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确，∵AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，又∵Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，∴AN2＋CM2＝MN2，故④正确；∴本题正确的结论有：①②③④，故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，考查了学生对综合知识的运用能力．二．填空题（每小题3分，共6小题）11.在比例尺为1﹕50000的地图上量出A、B两地的距离是8cm，那么A、B两地的实际距离是_____千米．【答案】4．【解析】【分析】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可．【详解】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据题意得：8：x=1：50000解得：x=400000，400000cm=4km．故答案4．【点睛】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算．12.如图，在△ABC中，DE∥AC，且AB=5cm，AD=2cm，BC=6cm，则BE=_____．【答案】18 5【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】∵DE ∥AC ，且AB =5cm ，AD =2cm ，BC =6cm ，∴AD EC AB BC =，即256EC=，解得：EC =125，∴BE =6﹣125=185． 故答案为185．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解答本题的关键． 13.已知点P 、Q 为线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则PQ=_____．（结果保留根号） 【答案】25﹣4． 【解析】 【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP =BQ =512-AB ，再根据PQ =AP +BQ ﹣AB ，即可得出结果．【详解】根据黄金分割点的概念，可知AP =BQ =512-×2=（5﹣1）． 则PQ =AP +BQ ﹣AB =（5﹣1）×2﹣2=（25﹣4）． 故答案为25﹣4．【点睛】本题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（51-）叫做黄金比．熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解． 14.如图，将△AOB 以O 为位似中心，扩大得到△COD ，其中B （3，0），D （4，0），则△AOB 与△COD 的相似比为_____．【答案】3：4． 【解析】∵△AOB 与△COD 关于点O 成位似图形， ∴△AOB ∽△COD ，则△AOB 与△COD 的相似比为OB ：OD=3：4， 故答案为3：4 (或34)． 15.如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC上，如果BC=5，△ABC的面积是10，那么这个正方形的边长是_____．【答案】209．【解析】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=4，设正方形DEFG 的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可．【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，交GF于M，∵△ABC的面积是10，∴12BC•AH=10，∴AH=4，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GF AM BC AH=,454x x-∴=，解得x=209．故答案为：209．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．16.如图，在直线l上摆放着三个三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=13CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3=20，则S1=_____，S2=_____．【答案】(1). 2 (2). 6．【解析】【分析】根据题意，可以证明S2与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的3倍，S3与S2的长相等，高是S3的13，这样就可以把S1和S3用S2来表示，从而计算出S2的值．【详解】根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，∴AB∥HF∥DC∥GN，设AC 与FH交于P，CD与HG交于Q，∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形．∵F、G分别是BC、CE的中点，∴MF=12AC=12BC，PF=12AB=12BC．又∵BC=13CE=23CG=23GE，∴CP=MF，CQ=32BC=3PF，QG=GC=CQ=32AB=3CP，∴S1=13S2，S3=3S2．∵S1+S3=20，∴13S2+3S2=20，∴S2=6，∴S1=2．故答案为2；6．【点睛】本题考查了面积及等积变换、等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．三．解答题（共7小题）17.如图．在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．（1）作出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A 2B 2C 2作出△A 2B 2C 2； （3）以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转90°，得到△A 3B 3C 3，作出△A 3B 3C 3，并求线段AC 扫过的面积．【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）134π.【解析】 【分析】 （1）将三顶点分别向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的对应点，顺次连接可得；（2）根据位似图形的定义作出对应点，顺次连接可得； （3）将三顶点分别绕点O 逆时针旋转90°得到对应点，顺次连接可得：再根据扇形面积公式计算可得．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即所求；（3）如图，△A 3B 3C 3即为所求．∵OA 2212+5OC 2233+2AC 扫过的面积为29032360π⋅⋅（）﹣2905360π⋅⋅（）=134π． 【点睛】本题主要考查作图﹣平移、位似、旋转变换，熟练掌握基本变换定义和性质及扇形的面积公式是解题的关键．18.如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE 测量学校体育馆的高度．若标杆BE 的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD 的高度．【答案】CD=12． 【解析】 【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可． 【详解】解：依题意得90EBA DCA ∠=∠=o ，又A A ∠=∠ ， ∴△AEB ∽△ADC ， ∴AB BE CD CD =，即2 1.5214CD=+， 则CD=12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形． 19.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC ＝90°． （1）求证：△ADE ∽△BEC ．（2）若AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，求AB 的长．【答案】（1）详见解析；（2）BE=32． 【解析】 【分析】（1）首先得出∠A ＝∠B ＝90°，再根据已知得到∠ADE=∠CEB ，利用两角对应相等的两个三角形相似即可得证；（2）利用相似三角形的性质得出BE 的长，进而得出答案即可． 【详解】(1)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°， ∴∠ADE ＋∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝90°， ∴∠AED ＋∠BEC ＝90°， ∴∠ADE ＝∠BEC ， ∴△ADE ∽△BEC ； (2)∵△ADE ∽△BEC ， ∴BE BCAD AE=， ∵AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，∴312BE =， ∴BE ＝32，∴AB ＝AE ＋BE ＝72. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 20.如图，在ABC ∆中，=90A ∠︒，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在ABC ∆的各边上，=3CE cm ，求BC 的长．【答案】BC= 21cm 【解析】 【分析】只要证明△BDG ∽△FEC ，可得BD EF =DG EC ，推出6BD =63，求出BD 即可解决问题． 【详解】∵四边形EFGD 是正方形，∴DE =EF =DG =6cm ，∠GDE =∠DEF =90°，∴∠BDG =∠CEF =90°．∵∠B +∠C =90°，∠C +∠CFE =90°，∴∠B =∠CFE ，∴△BDG ∽△FEC ，∴BD EF =DG EC ，∴6BD =63，∴BD =12，∴BC =BD +DE +EC =12+6+3=21（cm ）．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD DFAC CG=． （1）求证：△ADF ∽△ACG ； （2）若12AD AC =，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2）1.【解析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴1．22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．【答案】（1）6；（2）5.【解析】【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；(2)由相似三角形相似比为1：2，得到S△MND：S△CND=1：4，可得到△MND面积为1，△MCD面积为3，由S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD=MD•h=AD•h，=4S△MCD，即可求得答案．【详解】解：(1)∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴MD DN BC BN=，∵M为AD中点，所以BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；(2)∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为1，∴△MCD面积为3，设平行四边形AD边上的高为h，∵S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD=MD•h=AD•h，∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=12．∴四边形ABCM的面积=9．考点：(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．23.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP 于E．（1）如图①，若P为AB的中点，则BFDF = ；BFAC= ；（2）如图②，若12APBP=时，证明：AC=4BF；（3）如图③，若P在BA的延长线上，当BFAC = 时，13APBP=．【答案】（1）12，13；（2）详见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）延长AF交BC于M，证△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根据△MBF∽△ADF对应边成比例列出比例式BFDF=BMAD，然后再根据正方形的边长相等，对角线相等进行转化即可求解；（2）先根据已知条件求出APAB=13，然后同（1）的方法作出辅助线即可进行证明；（3）同前两小题的思路，延长CB交AF于点M，然后同（1）的求解思路进行求解计算．【详解】（1）延长AF交BC于M，∴∠BAM+∠AMB=90°．∵AE⊥DP，∴∠BAM+∠DPA=90°，∴∠AMB=∠DPA．在△ABM和△DAP中，∵AMB DPAABC DAPAB AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△DAP（AAS），∴AP=BM（全等三角形对应边相等）．∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴△MBF∽△ADF，∴BFDF =BM AD．∵点P是AB的中点，∴AP=BM=12AB=12AD，∴BFDF=BMAD=12，∴BFFD BF+=112+=13，即BFBD=13．又∵AC=BD，∴BFAC =13．故答案为11 23，；（2）∵APBP=12，∴APAP BP+=112+=13，即APAB=13，方法同（1），延长AF交BC于M，则BMAD =APAB=BFFD=13，∴BFBF FD+=113+=14，即BFBD=14．∵正方形的对角线AC=BD，∴BFAC =14，∴AC=4BF；（3）延长CB交AF于点M，方法同（1）可得：BMAD =APAB=13，∴BFFD=13，∴BF FD BF-=131-，即BFBD=12．∵正方形的对角线AC=BD，∴BFAC =12．故答案为12．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，此类题目往往是后面的小题的解题思路继续沿用第（1）小题的思路，所以找准第（1）小题的求解思路很重要．。