多尺度法初识和应用摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。
非线性问题的研究非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。
历史上曾有过一些解非 线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。
因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个 领域。
本世纪六十年代以来，情况发生了变化。
人们几乎同时从非线性系统的 两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非 线性偏微分方程的一端获得重大进展。
如在浅水波方程中发现了“孤子”，发 展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性 方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领 域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着 对初值极为敏感的复杂运动。
促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和 广泛应用。
科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处 理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。
线性与非线性的意义“线性”与“非线性”是两个数学名词。
所谓“线性”是指两个量之间所存在 的正比关系。
若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。
由线性函数关系描述的系 统叫线性系统。
在线性系统中，部分之和等于整体。
描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。
这是线性系统最本质的特征之一。
“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲线。
最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。
简单地说，一切不是一次的函 数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。
由非线性函数关系 描述的系统称为非线性系统。
多尺度法的基本思想多尺度法首先是由Sturrock(1957) 、Cole(1963) 、 Nayfeh(1965)等提出的,此后得到进一步的发展。
上面介绍该法的基本思想与方法。
我们考虑形式为 的方程所控制的系统，设方程的解为将原点移至中心位置是合适的。
于是有 ()0=+q f q+++=+=22100x x q x q q εε0q q =此时第一式可写成假设 f 可以展为泰勒级数，则上式可写为其中而 f (n ) 表示关于自变量的 n 阶导数，对于中心，，而我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。
也就是们可以把x 看成是 t 和 , …, 的函数。
多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。
即因此关于t 的导数变成了关于的偏导数的展开式，即然后代入方程进行求解，求出。
这时，方程的 解可写成： 然后按照小参数法 ( 摄动法 ) 建立ε 的 各阶方程， 进而 求出多重尺度法的应用一、求解自治系统例1.4.1 求Duffing 方程（1.1.4）0qq x -=()00=++q x f x∑==+N n n nx a x 10 ()()01q fn a n n ！=()00=q f ()()0>q fn t ε(),2,1,0==n t T nn ε t T t T t T 2210εε===++=++=101100D D d d d d d d ε∂∂∂∂T t T T t T t ()++++=20212102022D 2D D D D 2D d d εεt,,,321x x x ,,,321x x x30(1)x x x εω⋅⋅+=-=自由振动的二次近似解（用多尺度法）解：求二次近似解可选三个变量，设2001210122012(,,)(,,)(,,)x x T T T x T T T x T T T εε=++代入原方程，并用到式（1.4.3），可得到下列方程组20020x x T ∂+=∂ （1.4.4a ）22311020012x x x T T T ∂∂+=--∂∂∂ (1.4.4b)222232220122001021223x x x x x T T T T T T ∂∂∂∂+=----∂∂∂∂∂∂ (1.4.4c)设式（1.4.4a ）的解为01200(,)exp()exp()x A T T iT A iT =+-其中A 是未知复函数，A 是A 的共轭。
用复数形式表示是为了运算方便。
把 0x 代入式（1.4.4b ）223110020123exp()exp(3)x A x i A A iT A i T cc T T ⎛⎫∂∂+=-+-+ ⎪∂∂⎝⎭其中cc 表示前面各项的共轭。
为使x1,不出现永年项，必须21230Ai A A T ∂+=∂ （1.4.4d ）又求得3101exp(3)8x A i T cc =+把01,x x 代入（1.4.4c ）,并利用条件（1.4.4d ），有232452200020*******exp()exp(3)exp(5)888x A x i A A iT A A i T A iT cc T T ⎛⎫∂∂+=----+ ⎪∂∂⎝⎭消除永年项32215208A i A A T ∂-=∂ （1.4.4e ）解2x 为45200211exp(3)exp(5)6464x A A i T A iT cc =--+利用式（1.4.4d ）,（1.4.4e ）求A （T1,T2）如下： 由（1.4.4d ）2132A iA A T ∂=∂ 由（1.4.4c ）2321516A iA A T ∂=-∂ 利用式（1.4.3a ）并注意到00AT ∂=∂，就得到223315216dA iA A iA A dt =- 令1exp()2A a i ϕ=，其中,a ϕ是t 的实函数，将之代入上式，实、虚部展开，有0a ⋅=2243158256a a ϕεε⋅=-积分得0a a =22403158256a a t ϕεεϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭00,a ϕ为积分常数，所以224001315exp ()28256A a i a a t i εεϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦于是，原方程二阶近似解为322500001211cos (1)cos3cos532321024x a a a a ψεεψεψ=+-+ 其中224315(1)8256a a t ψεεϕ=+-+二、无限传输方程的近似解（一） 稳定性分析对于系统()()()()(())x t x t x t x t f x t αταβτε--++-= （2.1.1）对于方程（2.1.1）的根0x , 如果对0x 的任一邻域U,存在0x 的一个属于U 的邻域1U ，使系统（2.1.1）的解()x t ，若有01x U ∈,则对一切0t >，有()x t U ∈，就称0x 是稳定的，否则就称为不稳定的。
如果0x 稳定，并且有0()lim t x t x→+∞=，就称0x 是渐近稳定的。
定义：若（2.1.1）的零解对τ+∀∈ℜ都是渐近稳定的。
则称（2.1.1）为全时滞稳定的。
或叫无条件稳定或绝对稳定。
可求(2.1)的特征方程：将tx ce λ=代人到方程（2.1.1）中则有，()tx t c eλλ= ()()t x t ce λττ--= ()()t x t c e λττλ--=所以有：()()0t t t c e c e ce λλτλτλαλαβ---+=即有： 0e e λτλτλαλαβ---+= （2.1.2）1e e λτλταβλα---=- 若0τ=时，则1αβλα-=-为其特征根。
如果其特征根位于左半平面，而当τ由0增至+∞时，不越过虚轴，则系统（2.1.2）的更全具有负实部，这样系统（2.1）的零解为全时滞稳定的。
因此，要使（2.1.1）为全时滞稳定，首先要使（2.1.2）的根具有负实部。
只有当(2.1.1)的特征根为纯虚数时，方程的解才有近似周期解。
用i λω=代人（2.1.1）中，有0i i iie e ωτωτωεωαβ---+=即 (cos sin )cos sin 0i i i i ωαωωτωταβωταβωτ--+-=所以有 cos sin 0sin cos 0ωαωωταβωταωωταβωτ--=⎧⎨+=⎩令22()(1cos )cos f ωωαωταβωτ=--当1cos 0αωτ->时，在区间上0,2πτ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上， '22()2(1cos )sin sin 0f ωωαωτωατωταβτωτ=-++>函数 f单调当0ω=时， 2()(0)0f f ωαβ==-<当2πωτ=时，22()()024f f ππωττ==>函数与X 轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。
（二）近似周期解在3x ε的非线性扰动的情况下，可求系统的一次近似周期解（利用多尺度法）设2001210122012()(,,)(,,)(,,)x t x T T T x T T T x T T T εε=+++（2.2.1）其中2012,,n n T t T t T t T t εεε====应用微分算子，记00D T ∂=∂，11D T ∂=∂，知： 2201010()0()d D D dt T T εεεε∂∂=++=++∂∂ （2.2.2） 由001101()(,)(,)x t x T T x T T ε=++20()ε，知001101()(,)(,)x t x T T x T T τττεττ-=--+--20()ε+ (2.2.3)根据二元函数的泰勒展开：00(,)f x h y k ++0000(,)()(,)f x y h k f x y x y∂∂=+++∂∂令0010(,0,,)T x h T y k ττ-===-= 知100100110(,)(,)(0)T x x T T x T T x T T ττττ∂∂∂--=-+⋅-⋅∂∂∂0011(,)xx T T T ττε∂=--∂10111(,)x T T D x ττε=-- （2.2.4）110110110(,)(,)(0)T x x T T x T T x T T τττττ∂∂∂--=--+⋅-⋅∂∂∂ 1011(,)x x T T T ττε∂=--∂10111(,)x T T D x ττε=-- （2.2.5）将（2.2.4），（2.2.5）代人(2.2.3)中 得到时滞项：2001101()(,)(,)0()x t x T T x T T τττεττε-=--+--+10111(,)x T T D x ττε=--+210111(,)x T T D x εττε--+20()ε20011011001(,)[(,)(,)]0()x T T x T T D x T T τετττε=-+---+（2.2.6）3301()()x t x x ε=++32001001101(,)3(,)(,)x T T x T T x T T ε=+22330011011013(,)(,)(,)x T T x T T x T T εε+⋅++（2.2.7）223000111010012()x x x x x x x t T T T T T T εεεεε∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂ （2.2.8）将（2.2.1）（2.2.2）(2.2.3)（2.2.4）（2.2.5）（2.2.7）（2.2.8）代人原方程得()()()x t x t x t αταβτ--+-20001100100011101(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T εεε=+++20001100101011101(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T αεεε⎡⎤-+++⎣⎦]0011011001(,)(,)(,)x T T x T T D x T T αβτετεττ⎡+-+---⎣3223243001001101001101101(,)3(,)(,)3(,)(,)(,)x T T x T T x T T x T T x T T x T T εεεε=++⋅+这样根据多项式的性质，可知，指数012,,εεε的系数在等式两边相等。