北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17
课题：§双曲线简单几何性质知识点总结
课时： 课时 班级： 姓名：
【学习目标】
知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几
何性质
2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念 3
过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。
【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。
【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。
【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果.
【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________ 【学习过程】
1．范围： 由标准方程122
22=-b
y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图
象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
X 的取值范围________ y 的取值范围______
2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长
虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，
这是两者的又一差异4．离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：___________________
双曲线形状与e 的关系：112
2
222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐 由此可知，
双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
5．双曲线的第二定义：
到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=
a c a
c
e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：
对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=，
相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c
a x l 2
2:=；
对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 2
1:-=；
相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线c
a y l 2
2:=
6．渐近线
过双曲线122
22=-b
y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X
轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程
是____________或（
0=±b
y
a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
7．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；
（2）渐近线互相垂直；
（3）离心率=e 8．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±
=)0(>±=k x ka
kb
， 那么此双曲线方程就一定是：
)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22
22b
y a x
9．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线
区别：三个量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同
共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
10 .双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，
设双曲线 )0,0( 122
22>>=-b a b
y a x ，21,F F 是其左右焦点
则由第二定义：
e d MF =1
1，
∴
e c
a x MF =+
2
01 01ex a MF +=∴
同理 0
2ex a MF -
=即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：
⎩
⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF
同理有焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：
⎩⎨
⎧-=+=∴0
201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）
点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要
去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）11．通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用焦点弦公式，得到 a
d 2
=
【达标检测】
双曲线12222=-b y a x 与122
22=-b
x a y （a>0,b>0）的区别和联系
【小结】
【学后反思】______________________________________________________________________
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