北京科技大学 ２０06--20０7学年 第 一 学期
高等数学试卷(A）
院(系)班级学号姓名
试卷卷面成绩
占课程考核成绩７0%
平时成绩占３0%
课程考核成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
小计
得分
阅卷
校对
得分
一、填空题（每小题3分，共1５分)
１.设 .
2.已知 ,则全微分 .
３.已知 ,则 .
4. .是求函数 在区间 上的最小值．
根据 ，可得驻点 .（1分)
由实际问题考虑,此函数的最小值存在,且驻点是唯一的.
则当行驶速度为 公里/小时时总费用最省.（1分）
十一．如图:
（3分）
当水面下降高度为h时,
(１分)
由上二式可以解得 （1分)
十二
（1)解：由题设知
上式两边对于 求导得: 。
得 分
二、单项选择题（每小题3分,共1５分）
６．设 在 处连续，则a的值为【】.
(A)0(B)１(C)２(D）
7．在空间直角坐标系下,z轴的对称式方程为【】．
(A） ;（Ｂ） ；
（C) ；（Ｄ) .
8.函数 在点 可导，则 下列结论正确的是【】
（A） (Ｂ) ( C） (Ｄ)0
9.已知函数 具有任意阶导数， 且 ,则当n为大于2的整数时, 的n阶导数 是【】
得 分
十、(５分)已知汽车行驶每小时的耗油费用为 （元),它与行驶速度 （公里／ 小时）的关系为 .若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少?
得 分
十一、（5分)如图:已知半径为 的半球形水池充满了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时,水面下降的高度。
（A） (B) （C) （D) 。
1０．设 的导数是 ,则 的一个原函数为【】
(Ａ)１＋ （Ｂ）1－ （C)1＋ (D)1－
得 分
三、(8分)计算
得 分
四、(８分）设 求
得 分
五、(8分）求不定积分
得 分
六、(8分)利用定积分定义计算极限 ）
得 分
七、（8分)求极限
得 分
八、（8分)求定积分
得 分
九、(8分）求极限
三.
=
=
=0（2分）
四、 (5分）
(3分）
五解法1：;
令
（3分) (３分)
= （2分)
解法２:原式= (3分)
（3分）
(2分）
六.I (3分）= （４分)
= (1分)
七．解：原式 (３分)
考虑极限 (3分)
原式 （2分)
八解：设原积分= ，则
设原积分= ,则
（５分）
=5（３分)
九.解:原式=
十解:设汽车行驶了 公里,则耗时 小时．
设 ，得到 ,解之得到 。
由 及 ，得到 ,从而
即 。(２分)
(２)证：当 时, ， 即 单调减少,又 ，所以
。（１分）设 ,则
当 时, ,即 单调增加，因而
，即有 。综上所述得到当 时 (１分）
得 分
十二、（4分)
设函数 在区间 上可导， ,且满足等式
（1） 求导数 ;
（2）证明:当 时，成立不等式 .
A卷
北京科技大学２006—２007学年度第一学期
高等数学试卷（A)题答案及评分标准
(注:此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档）
参考答案
一．填空题
１.
2. .
3．
４.
5．
二．选择题
６.A7.Ｂ8．Ｃ9.A１０．Ｂ