洛伦兹变换的推导：不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，所有的物理规律都是一样的
现在我们设（x，y，z，t）所在坐标系（A系）静止，（X，Y，Z，T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。
在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。
可令
（1）.
又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。
）同理，B系中的原点处有
，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。
故有
（2）.
对于y，z，Y，Z皆与速度无关，可得
（3）.
（4）.
将（2）代入（1）可得：
，即
（5）.
（1）（2）（3）（4）（5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。
当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有
，。
代入（1）（2）式得：
，。
两式相乘消去t和T得：
.
将γ反代入（2）（5）式得坐标变换：
3．速度变换：
同理可得V（y），V（z）的表达式。
4．尺缩效应：
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由
得：
，又△t=0（要同时测量两端的坐标），则
，即：
，。
5．钟慢效应：
由坐标变换的逆变换可知，
，故
，又
，（要在同地测量），故。
（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。
）
6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：
）
B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。
B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是△t（b），由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为
（1）.
探测器开始接收时刻为
，最终时刻为
，则
（2）.
相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即
（3）.
由以上三式可得：
.
7．动量表达式：（注：
，此时，
因为对于动力学质点可选自身为参考系，
）
牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中，
，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x，y，z）新坐标系中为（X，Y，Z））只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时
莫属）就可以修正速度的概念了。
即令
为相对论速度。
牛顿动量为
，将v替换为V，可修正动量，即。
定义
（相对论质量）则
.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。
（注：人们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
8．相对论力学基本方程：：
由相对论动量表达式可知：
，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。
（相对论中质量是变量）
9．质能方程：
即
10．能量动量关系：
，
，
，
四维证明
1．公理，无法证明。
2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx2+dy2+dz2+（icdt）2=0在任意惯性系内都成立。
定义dS为四维间隔，
dS2=dx2+dy2+dz2+（icdt）2（1）.
则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。
dS2>0称类空间隔，dS2<0称类时间隔，dS2=0称类光间隔。
相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。
因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。
由数学的旋转变换公式有：（保持y，z轴不动，旋转x和ict轴）
X=xcosφ+（ict）sinφ
得：tanφ=iu/c，则cosφ=γ，sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ（x-ut）
Y=y
Z=z
T=γ（t-ux/c2）
3．4．5．6．略。
7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr（1-v2/c2），下式中dt=γdτ）
令r=（x，y，z，ict）则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。
则V=（γv，icγ）γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。
（以下同理）
四维动量：P=mV=（γmv，icγm）=（Mv，icM）
四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F为三维力）
四维加速度：ω=/dτ=（γ4a，γ4iva/c）
则f=mdV/dτ=mω
8．略。
9．质能方程：
fV=mωV=m（γ5va+i2γ5va）=0
故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）
由fV=0得：γ2mFv+γic（dM/dt）（icγm）=0（F，v为三维矢量，且Fv=dEk/dt（功率表达式））
故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c2∫dM，即：Ek=Mc2-mc2
故E=Mc2=Ek+mc2。