第一章：四边形①特殊四边形的开放性问题。

（熟记定义，从本质入手）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，并且AF=CE=AE.（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？ （3）四边形ACEF 有可能是正方形吗为什么？ （1）.证明： ∵ DE ⊥CB ，∴∠FDC=∠ACB=90°， ∴EF ∥CA ，∴∠AEF=∠EAC ， ∵AF=CE ，又AE=EA, ∴△ECA ≌△AFE ，∴EF=AC ， ∴四边形ACEF 是平行四边形。

（2）.当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形。

∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠BAC=60°， 又∵CE=AE ，∴△AEC 是等边三角形，∴EC=AC ， ∴四边形ACEF 是菱形。

(3).四边形ACEF 有不可能是正方形。

∵如果ACEF 是正方形，∴∠ACE=90°，又∵E 在BC 上，且E 是BC 垂直平分线与AB 的交点，∴不可能与D 重合。

所以四边形ACEF 有不可能是正方形。

总结：特殊四边形的开放性问题的解决要求对特殊四边形的性质、判定非常熟悉，先由要确定的图形判定所缺少的条件，在进行添加或推导获得。

②动点问题。

（在变化中找出关系）如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm 2）（1）当t=1秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由.① ② ③ 解：(1)当t=1秒时， AE=CG=2cm ，BF=4cm=21BC 所以 S =21(CG+EB)·BC-21(BF ·BE+CF ·CG)=21AB ·BC-41AB ·BC=41×12×8=24 (cm)2(2)当 0≤t ≤2时BF=4t, CF=BC-4t=8-4tAE=CG=2t ，EB=AB-2t=12-2tS △EFG =S 梯形CBCG -S △EBF -S △CFG=21×12×8-21×4t(12-2t)-21×2t(8-4t) =8t 2-32t+48当 t>2 时，F 与G 同在CD 边上， FG=2t-4(t-2)=8-2t>0,故 t<4S △EFG =21FG ·BC=21×(8-2t)×8=32-8t2-32t+48 （0≤t ≤2）(3)若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似，则BE CG =BF CF 或 BF CG =BECF∴ t t 2122-=tt448- 得 t=23t t 42=t t 21248-- 得 t=32综上所述，当t=23或t=32时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似。

总结：在解决动点的问题时，要善于抓住其不变的条件，如角、线段等。

本题的关键是在变化的过程中找出变化的数量关系，从而解决问题。

第二章：反比例函数反比例函数与一次函数、几何图形相结合。

（待定系数法，分割法）例一：如图，在直角坐标系中，△OBA ∽△DOC ，边OA 、OC 都在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），∠BAO =∠OCD =90°，OD =5．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D ，交AB 边于点E ．（1）求k 的值． （2）求BE 的长． 解：（1）∵△OBA ∽△DOC ，∴OC BA DCOA=．∵B (6，8)，∠BAO =90︒，∴8463OC DC ==． 在Rt △COD 中，OD =5，∴OC =4，DC =3．∴D (4，3)． ∵点D 在函数k y x=的图象上，∴34k =．∴12k =．（2）∵E 是12(0)y x x=>图象与AB 的交点，∴AE =126=2． ∴BE =8－2=6．例二：如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和 反比例函数my x=的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求不等式0<-+xmb kx 的解集（请直接写出答案）. (4)试说明OA=OB ．总结：本题主要考查用待定系数法确定反比例函数的比例系数k ，求出函数解析式以及利用图像得出不等式的解集，要能够熟练借助直线和y 轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题关键。

第三章：二次函数①二次函数的应用例一：张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2b x a =-时，244ac b y a-=最大(小)值)解：（1）由题意，得S=AB·B C=x （32﹣2x ）， ∴S=﹣2x 2+32x ；（2）∵a=﹣2＜0， ∴S 有最大值．∴x=﹣=﹣=8时，有S max ===128．∴x=8时，S 有最大值，最大值是128平方米．总结：分析题目的变量之间的关系是关键，确立了函数关系式后再用常规的方法求最值或者直接代入二次函数的顶点式坐标进行解答。

例二：某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368y x =-+，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）12y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++；（3）21316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润211(46)111082=--+=（元）．总结：本题通过从图形中获取信息，运用二次函数的相应知识来解决这类应用问题，在解题的过程中，应注意将准确的点的坐标代入表达式计算。

切不可大意。

例三：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x 当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元） )20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x 当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．②二次函数与一次函数、几何图形相结合。

（数形结合）已知：如图，抛物线2=-++与x轴，y轴分别相交于点(10)(03)y x bx c-，，，两A B点，其顶点为D．（１）求该抛物线的解析式；（２）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；（３）AOB△是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，△与BDE请说明理由．其中数形结合是解题的关键。

第五章：三角函数。

（构造直角三角形）例一：一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。

解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D∵CD AD =030cot ，CDBC =060cot ∴030cot ⋅=CD AD ，060cot ⋅=CD BD ∴20)60cot 30(cot 00=-=-CD BD AD ∴31033320=-=CD ∵310＞10∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。

总结：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。

例二：由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡的仰角为60°．总结：本题考查仰角的定义，难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，在解题过程中注意数形结合思想和方程思想的应用。

第六章：圆。

（切线的证明）①有已知交点，连半径，证垂直（根据切线判定定理）例：已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，Array求证：直线CD为⊙O的切线；证明：连接OC∵AC是∠D AB的平分线∴∠DAC=∠BAC∴弧BC=∠DAB∵∠BOC=弧BC∴∠DAB=∠BOC∴AD∥CO∵CD⊥AD即∠ADC=90°∴∠OCD=90°即OC⊥CD∴直线CD为圆O的切线②无已知交点，作垂直，证半径（根据直线与圆的位置关系，d=r)例：如图，在以圆O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB，1.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由2.试判断线段AC,AD,BC之间的数量关系，并说明理由；3.若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积。