N
（3.11）
( 2 )i 1 2, j N ( N ) m1 2 i 1 2, j N ( N ) m1 2 m1 2 m 1 2 t C ( v v ) C ( v v ) n x x n z z i 1 2, j i 1 2, j i n , j i ( n 1), j i 1 2, j ( 2 n 1) 2 i 1 2, j ( 2 n 1) 2 z n 1 x n 1 1 N ( N ) m1 2 1 N ( N ) m1 2 m1 2 m1 m 1 2 xzi , j 1 2 xzi , j 1 2 t i , j 1 2 Cn (vxi , j n vxi , j ( n 1) ) Cn (vzi ( 2 n 1) 2, j 1 2 vzm ) i ( 2 n 1) 2, j 1 2 x n1 z n1
5
1 弹性波动方程的解
地震波数值模拟方法主要有三大类：波动方程法，积分方程法和射线追踪法． 波动方程数值解法是建立在以弹性或粘弹性理论和牛顿力学为基础的双曲型偏微分方 程一地震波传播方程的理论基础上的．由于地下介质性质不同，其相应的地震波传播方程 也不同．如声学介质中的声波波动方程；弹性介质中的弹性波波动方程；粘弹性介质中的 粘弹性波波动方程；孔隙弹性介质(双相或多相介质)中的双相或多相介质弹性波方程；各 向异性介质中的各向异性弹性波波动方程等 积分方程法是建立在以惠更斯原理为基础的波叠加原理基础上的，其数学表达形式为 波动方程的格林函数域积分方程式和边界积分方程式． 射线追踪法是建立在以射线理论为基础的波动方程高频近似理论基础上的，其数学表 达形式为程函方程和传输方程．
将式（3.10）带入式（3.6）替换应力对空间的导师，整理得下式
v
m1 2 xi , j
v
m1 2 xi , j
t 1 N ( N ) m 1 N (N ) m m m ) C ( ) Cn ( xxi xxi n xzi , j xzi , j （2n-1）2, j （2n-1）2, j （2n-1）2 （2n-1）2 i , j x n1 z n1

m 1 xxi 1 2, j
m xxi 1 2, j
( 2 )i 1 2, j t x
C
n 1
N
(N ) n
(v
m 1 2 xi n , j
v
m 1 2 xi ( n 1), j
)
i 1 2, j
(N ) m 1 2 m 1 2 C ( v v ) n zi 1 2, j ( 2 n1) 2 zi 1 2, j ( 2 n1) 2 z n 1
弹性波交错网格有限差分简介
汇报人：卢勇旭 时 间：2013年6月1日
1
提纲
1 弹性波动方程的解 2 有限差分算法简介 3 二维弹性波交错网格有限差分
2
1 弹性波动方程的解
基础
地球物 理学的 问题
正演 问题 反演 问题
目的
按事物一般原理（或模型）及相关的条 件（初始条件、边界条件）来预测事物 的结果（可由观测可得 据地球物理场的实际观测值（有时也用 理论计算值）定量或定性解释推断地球 内部结构（地质体形态和岩层物性）。
2n 1 x ) 2 2 2n 1 ( x ) 2 2 (
16
3 二维弹性波交错网格有限差分
上述的n对等式中，对第n对等式的等号两边同时乘以系数 Cn 求和，得：
1 N (N ) 2n 1 2n 1 (N) C f ( x x ) f ( x x ) C1( N ) 3C2 n x n 1 2 2 C
vx vz xx 2 t x z vx vz zz 2 x z t vx vz xz t z x
（3.2）
式（3.1）（3.2）即为二维各向同性介质中的一阶速度应力方程 14
3
1 弹性波动方程的解
正演
反演 地质模型
地震记录（波场）
4
1 弹性波动方程的解
求解正 演问题
物理模拟 数学 模拟法
相似原理
投资大，选材难， 结果真实， 最简捷方便 ，仅适 用少数简单模型 效率高，机时少， 周期短，费用低。
地球物 理模拟
解析方法 数值 模拟法 正演主要工具
概念：将描述各种地球物理场的 方程或表达式及初、边值条件通 过数值方法求出它们的数值解。
13
3 二维弹性波交错网格有限差分
几何方程：
1 ui u j ij 2 x j xi
本构方程：
ij Cijkl kl
各向同性介质 C12 C13 C21 C23 C31 C32 的弹性常数： C11 C22 C33 2
（3.9）
17
3 二维弹性波交错网格有限差分
解式（3.9）带入（3.8）即得到f对x的一阶偏导数的2M阶差分近似式：
f 1 N (N ) 2n 1 2n 1 Cn f ( x x ) f ( x x ) x x n 1 2 2
（3.10）
2ux xx xz 2 = t x z 平衡微分方程： 2 uz = zx zz x z t 2
vi ui t
vx 1 xx xz t = x z （3.1） vz = 1 zx zz t x z
同理可得到所有的应力-位移方程的离散格式：
v
k 1 2 zi 1 2, j 1 2
v
m 1 2 xi 1 2, j 1 2

t
i 1 2, j 1 2
1 N (N ) m 1 N (N ) m m m Cn ( xzi n , j 1 2 xxi ( n 1), j 1 2 ) Cn ( zzi 1 2, j n xzi 1 2, j ( n 1) ) z n 1 x n 1
(N ) 1
(N )
后相减，再将所有式
(N) (2n 1)Cn
f x x 2 3 f 24 x 3
3 C
3
(N ) 2

(2n 1) C
3
(N ) n
（3.8）
令上式右端仅保留
f 项，即其系数项等于1，其他系数等于0，得到如下方程组： x
3 1 13 33 2 N 1 2 N 1 3 1 (2n 1) C1( N ) 1 (N ) (2n 1)3 C2 0 (N ) (2n 1) 2 N 1 Cn 0
t Taylor v (t ) t 1 2vx (t ) t 2 v x (t ) v x (t ) x ( ) ( ) 2 t 2 2! t 2 2
1 mv x (t ) t m ( ) o( t m ) m m! t似式：
地震波动方程的数值模拟方法主要有:有限差分法、有限元法、反射率法、傅立叶伪 谱法等，但这些方法都各具优缺点。
6
提纲
1 弹性波动方程的解 2 有限差分算法简介 3 二维弹性波交错网格有限差分
7
2 有限差分算法简介
有限差分法是对波动方程中的微分用差分近似代替，把波动理论上的微分形 式变成适于数值计算的差分形式，得到差分方程。它的主要优点是计算速度快， 占用内存小。 地震勘探中的有限差分根据域的不同可分为时域有限差分和频域有限差分。 根据网格不同可分为常规网格、交错网格、旋转网格等。本次介绍时域交错网格 有限差分。
8
2 有限差分算法简介
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
9
2 有限差分算法简介
一阶差分：
10
2 有限差分算法简介
二阶中心差分：
11
提纲
1 弹性波动方程的解 2 有限差分算法简介 3 二维弹性波交错网格有限差分
12
3 二维弹性波交错网格有限差分
均匀各向同性介质中的一阶（速度-应力）弹性波动方程：
（3.6）
15
3 二维弹性波交错网格有限差分
空间的2N阶差分近似：
2n 1 2n 1 x ) ( n 1, 2, ) x ) 和 f ( x 2 2
对 f (x
在x处进行Taylor展开:
n 1 n2 nn
1 f 1 1 2 f f ( x x ) f ( x ) ( x ) 2 x 2 2! x 2 1 f 1 1 2 f f ( x x ) f ( x ) ( x ) 2 x 2 2! x 2 3 f 3 1 2 f f ( x x ) f ( x ) ( x ) 2 x 2 2! x 2 3 f 3 1 2 f f ( x x ) f ( x ) ( x ) 2 x 2 2! x 2
C44 C55 C66
u x u z xx 2 x z u x u z 2 zz x z u x u z xz z x
vi
ui t
M t t 1 t 2 m1 2m1vx (t ) v x (t ) v x ( t ) 2 ( ) o( t 2 m ) 2 m 1 2 2 t m1 (2m 1)! 2
（3.5）
当M=1时，上式即为时间二阶精度差分格式，带入式（3.3）并整理得：
v x (t t t t ) vx (t ) xx xz 2 2 x z