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石油大学学报 (自然科学版) 2003 年 12 月
图 6 所示的是图 3 模型速度为 1 500 m/ s ,3 层
对该模型用精度为 O (Δt2 ,Δ x 10) 的一阶全声波方 密度分别为 1. 0 ,2. 0 和 2. 8 g/ cm3 时所模拟的地面
程交错网格高阶差分法和常规网格下的二阶声波方 单炮记录 。
程伪谱法进行了模拟 。
图 7 (a) 所示是 Marmousi 速度模型 ,取密度为
5 数值模拟
为了比较一阶全声波方程交错网格高阶差分法 与常规网格下的二阶声波方程伪谱法的模拟效果 , 分别对均匀模型 、横向非均匀模型和 Marmousi 模型 进行了二维地震波场模拟 。 交错网格高阶差分法均匀模型的计算区域为 1 000 m ×1 000 m ;伪谱法均匀模型的计算区域为 1 280 m ×1280 m 。模型的地震波速度为 2000 m/ s , 密度为常数 ;震源为点震源 ,主频为 30 Hz ,位于模 型中央 。网格大小为Δx =Δz = 10 m ,时间步长为 Δt = 1 ms。图 2 (a) , ( b) , (c) , ( d) 分别为四阶 、六 阶 、十阶交错网格差分法和伪谱法所模拟的 t = 200 ms 时瞬时波场快照 。可以看出 ,交错网格高阶差分 法当差分阶数较低时 ,频散严重 ;随着阶数的增加 , 频散降低 ,模拟波场的精度逐渐提高 。当采用十阶 差分格式时 ,其模拟结果与伪谱法的相当 。伪谱法 的优点是精度高 ,缺点是所需内存和计算量大 。交 错网格差分法主要优点是计算效率高 ,计算时间约 为伪谱法的 0. 65 倍 ,且所需内存小 。
ms 时的地震瞬时波场快照 。
用一 阶 全 声 波 方 程 交 错 网 格 高 阶 差 分 法 对
图 3 横向非均匀模型
一阶全声波方程交错网格高阶差分法与常规网
Marmousi 模型模拟的地面单炮记录见图 8 。 由图 7 ,8 可以看出 ,一阶全声波方程交错网格
格下的二阶声波方程伪谱法所模拟的地面单炮记录 高阶差分法对复杂介质中地震波的传播进行了高分
关键词 :一阶双曲型标量波动方程 ;非均匀介质 ;地震波交错网格 ;高阶有限差分法 ;稳定性条件 ;数值模拟 中图分类号 : P 631. 4 文献标识码 :A
引 言
复杂油气藏的勘探与开发是世界性难题 。这些 难题归根结底一是复杂介质中地震波传播规律的理 论认识 ,二是基于理论认识的针对油气藏特征的储 层地球物理方法研究 。因此 ,在复杂介质中地震波 传播理论研究的基础上 ,必须进行复杂介质 ,尤其是 含油气储层微细构造 (如小断层 、透镜砂体 、尖灭等) 局部波场的地震正演模拟研究 。在地震波正演中 , 除常使用的二阶声波方程以外 ,还可以采用一阶压 力 速度全声波方程 ,其主要优点是无须对介质的弹 性常数进行空间求导 。Virieux 采用交错网格技术 实现了一阶速度 应力弹性波方程差分法数值模 拟[1 ,2 ] ,其差分精度为 O (Δt2 +Δ x 2) 。Levander[3 ] 给出了差分精度为 O (Δt2 +Δx 4) 的交错网格的高 阶差分算法 。在不增加计算工作量和储存空间的前 提下与常规网格相比 , 交错网格的局部精度提高了 4 倍 ,收敛速度也较快[4 ] 。为了对复杂构造和复杂 介质中地震波进行高精度 、高分辨模拟 ,就必须提高 差分精度 ,减少网格频散 。笔者将交错网格和高阶 差分法有机地结合起来 , 提出一阶全声波方程交错 网格高阶有限差分数值解法 , 以取得更为满意的结 果。
.
al
(3)
l =1
可见 ,随着差分精度的提高 ,交错网格高阶有限差分
数值解法的稳定性略有提高 。
为了减少人为边界产生的边界反射 , 除自由边
界外 ,其余边界采用 Cerjan 等[5 ] 提出的吸收边界条
件 。阻尼衰减函数选用余弦函数 , 吸收效果非常理
想。
震源子波选用改进后的 Mo rlet 解析小波[6 ] 的
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图 2 交错网格不同精度声波方程和常规网格伪谱法数值模拟结果
图 3 所示的是一个横向非均匀模型 ,密度为常 的结果非常接近 ,并且所采用的吸收边界条件的吸
数 。震源主频为 30 Hz ,位于 (200 m ,100 m) 处 。网 收效果较理想 。
格大小为Δx =Δz = 10 m ,时间步长为Δt = 1 ms。
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第 27 卷 第 6 期 裴正林等 :非均匀介质地震波传播交错网格高阶有限差分法模拟
∑ 5 f
5x
N
1 x = x0 = Δx l =1 al
f
x0
+
Δx 2
(2
l
-
1)
-
f
x0
-
Δx 2
(2
l
-
1)
+ O (Δ x 2 N ) .
(2)
其中 ,系数 al 由以下方程确定 :
1
3 … 2N - 1
a1
1
13
33 … (2 N - 1) 3
a2
0
⁝ ⁝…
⁝
⁝ = ⁝.
12 N - 1 32 N - 1 … (2 N - 1) 2 N - 1 aN
用一阶全声波方程交错网格高阶差分法所模拟 常数 。该地质模型包含非常复杂的地质构造 。其中
的时间 t = 200 ms 和 t = 300 ms 时的地震瞬时波场 目标区是深层 2 500 m 附近嵌在底部背斜地层中的
快照见图 4 。
小低速体储层构造 。速度模型的 x 方向和 z 方向
的网格点数分别为 737 和 750 , 计算波场时 , 网格大
2003 年 第 27 卷 石油大学学报 (自然科学版) Vol. 27 No. 6 第 6 期 Journal of t he University of Petroleum , China Dec. 2003
文章编号 :100025870 (2003) 0620017205
,
j
-
v
k i
+1/ , j-
2 l
+1/

)
,
∑ u
k i
+1/ +1/
2 2
,
j
=
u
k i
- 1/ +1/
2 2
,
j
+
ρi
1
+1/
2
,
j
Δt Δx
N l =1
al
(
p
k i+
l
,
j
-
p
k i-
l +1 , j)
,
∑ v
k i
+1/ 2 , j +1/
2
=
v
k i
,
1/ 2 j +1/
2
+
ρi
,
1
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石油大学学报 (自然科学版) 2003 年 12 月
图 4 横向非均匀模型交错网格高阶差分法所模拟地震波场的瞬时快照
图 5 横向非均匀模型不同方法所模拟的地面单炮记录
图 6 横向非均匀模型密度变化时所模拟 波场的地面单炮记录
图 7 Marmousi 模型交错网格高阶差分法 所模拟地震波场的瞬时快照
则精度为 O (Δt2 +Δx 2 N ) 的交错网格差分格式为
∑ pki
+1 ,j
=
pki , j
+
ki
,
j
Δt Δx
N l =1
al
(
uki
+1/ 2 + l - 1/
2,
j
-
uki
+1/ 2 - l +1/
2
,
j
)
+
∑ k
i
,
j
Δt Δz
N l =1
al
(
v
k i
+1/ 2 , j+l
-
1/
2
j +1/
2
Δt Δz
N l =1
al ( pki , j + l - 1
-
p
k i
,
j
-
l)
.
4 高阶差分方程的稳定性条件、吸收 条件和震源子波
通过平面谐波分析并参考文献[2 ] , 得出一阶 全声波方程交错网格高阶有限差分数值解法的稳定 性条件为
∑ v pΔt
1 Δx2
+
1 Δz
2
≤
N
1
0
3 一阶二维全标量波动方程的交错 网格高阶差分格式
对时间导数 , 采用二阶精度的中心差分法近
似 。设
p
k i,
j
,
u
k i
+1/ +1/
2 2
,
j
,
v
k i
+1/ 2 , j +1/
2
分别表示压力场
p( x ,
z ) 和质点速度成分 v x ( x , z ) , vz ( x , z ) 的离散值 ,
2 交错网格上一阶空间导数的 2 N 阶 精度展开式
设函数 f ( x ) 连续 ,且具有 2 N + 1 阶导数 ,利用 Taylor 公式 ,则函数 f ( x ) 在 x = x 0 的交错网格上 一阶空间导数表示为