方向平移一个单位距离，构成平面 p，则
0
x x
y y
p = [ 0 0 1 -1]
图1.2 平面的描述
即 a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, m = a2 + b2 + c2 = 1
平面p上任一点v为 v = [ x y 1 1 ]T，它与平面p的点乘为零，即 p • v = 0
第三章 工业机器人运动学
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引言
要实现对工业机器人在空间运动轨迹的控制， 完成预定的作业任务，就必须知道机器人在空间瞬 时的位置与姿态。如何计算机器人手部在空间的位 姿是实现对机器人的控制首先要解决的问题。本章 讨论机器人运动学的基本问题，将引入齐次坐标变 换。推导出坐标变换方程；利用DH参数法，进行机 器人的位姿分析；介绍机器人正向和逆运动学的基 础知识。
经变换后的平面向量q与点向量v的点乘为
q ·v = p H-1 ·H u ＝ p ·u
（ 1.9）
与变换前平面p与点u的点乘相等，证明了变换的等效性。
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1.4 平移变换（Translation transformation）
用向量 h ＝ a i + b j + c k 进行平移，其相应的H变换矩阵是
平面p上方任一点v，如 v = [ 0 0 2 1 ]T，它与平面p的点乘为一个正数，即 p • v = 1
平面p下方任一点v，如 v = [ 0 0 0 1 ]T，它与平面p的点乘为一个负数，即 p • v = -1
注意：平面 [ 0 0 0 0 ] 无定义。
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1.3 变换(Transformation)
（1.1）
a ·b = ax bx + ay by + az bz
（1.2 ）
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用 “×”表示叉积，即
a × b = ( ay bz ¯az by ) i + ( az bx ¯ax bz ) j + ( ax by ¯ay by ) k 可用行列式表示为
1.2 点向量和平面的描述 1.4 平移变换 1.6 坐标系 1.8 物体的描述 1.10 一般性旋转变换 1.12 扩展与缩小 1.14 变换方程
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1.1 引言 (Introduction)
机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的 关系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示 方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉中， 物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。在本课程我们将采用 齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物 体与机械手之间的关系。
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【例1.1】对点向量 u = [ 2 3 2 1 ]T 进行平移，平移向量为 h = [ 4 -3 7
移后的向量为 v = [ 6 0 9 1 ]T，或
z
1 0 ―3 v = H ∙u = 0 0 1 7
H空间的变换是由4×4矩阵来完成的，它可以表示平移、旋转、扩展和透视 等各种变换。如已知点u（在平面p上）,它的变换v（在平面q上）用矩阵积表示为
v=Hu
（1.7）
其中H为4×4 变换矩阵，u和v为4×1的点列向量，相应的平面p到q的变换是
q = p H-1
（1.8）
其中H-1为H的逆阵，p和q为1×4 的平面行向量。
v = [ 3 4 5 1 ]T = [ 6 8 10 2 ]T = [ -3 -4 -5 -1]T 在向量中增加一个比例因子 w 是为了方便坐标变换中的矩阵运算。
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已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即
本章首先介绍向量和平面的表示方法，然后引出向量和平面的坐 标变换，这些变换基本上是由平移和旋转组成，因此可以用坐标系 来描述各种物体和机械手的空间位置和姿态。稍后还要介绍逆变换， 逆变换是运动学求解的基础。
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1.2 点向量和平面的描述（Notation of point vectors and planes）
p
c
•
E
v
0
x by
a
u
H y
z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，即
x
z
0
v = [ x y z w ]T
其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
图1.1 点向量的描述
改变比例因子 w，则分量 a、b、c 的数值相应改变，但描述的还是同一个点向量。如 v = 3i + 4j + 5k 可表示为
H = Trans ( a b c ) =
100a 010b 001c 0001
因此对向量 u = [ x y z w ]T，经H变换为向量v可表示为
(1.10)
x + aw
x/w+a
y + bw
y/w+b
v = z + cw = z / w + c
w
1
(1.11)
可见，平移实际上是对已知向量 u = [ x y z w ]T 与平移向量 h = [ a b c 1 ]T 相加。
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主要内容
数学基础——齐次坐标变换 机器人运动学方程的建立（正运动学） 机器人逆运动学分析
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一、机器人数学基础——齐次坐标变换
1.1 引言 1.3 变换 1.5 旋转变换 1.7 相对变换 1.9 逆变换 1.11 等价旋转角与旋转轴 1.13 透视变换 1.15 小结
（ 1.3）
a×b =
ijk
ax ay az bx by bz
（1.4）
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1.2.2 平面（Planes）
平面可用一个行矩阵表示，即
z
p=[abcd]
（1.5）
它表示了平面p的法线方向，且距坐标原点的
1
p
•v
距离为－d / m，其中
m = a2 + b2 + c2
（1.6）
如图1.2所示，如果将 x－y 平面沿z 轴正
1.2.1 点向量（Point vectors）
点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
z
置。同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也 不同。如图1.1中，点p在E坐标系上表示为 Ev，在H坐 标系上表示为 Hu，且v ≠ u。一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、y、