同理，若将媒质εa换以媒质εb， 则对于 o 点， 据式 （4-11）可得
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但实际上 ua1和 ub3是虚设的电位，所以应利用分界面上场量遵循的边界条 件［式（1-66）和式（1-69）］，把它们从以上两式中消去。 首先， 由式（1-66）得出分界面上电位的连续性，即 其次，假设在分界面上自由电荷的面密度σ = 0， 则由式（1-69）有
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应用二元函数的泰勒公式，节点 1 的位函数值 u1 可通过 u0 表示为
同理
以 h 和 h1 分别与以上两式相乘，且相加，然后截断于 h 的二次项，便得关 于 的差分表达式为
同理可得
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令 h1 =αh， h2 =βh，代入以上两式，最终再代入给定的泊松方程，即得这类 边界情况所对应的差分计算格式为
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对于场域内典型的内节点 o (xi，yj)， 如图 4-2 所示， 它与周围相邻的节 点 1、 2、 3 和 4构成一个所谓对称的星形。今采用双下标(i，j)的识别方法， 设在这些离散节点上的待求位函数 u 的 近 似 值 分 别 记 作 uo = u（i，j）、 u1 = u(i+1，j)、 u2 = u(i，j+1)、 u3 = u(i-1，j) 和u4 = u(i，j-1)， 则参照式 (4-7)，二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为
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（2） 第三类边界条件的差分离散化 对此，同样需分两种情况讨论。第一种情况是在边界处引入的相应节 点恰好落在边界 L上。 这时，取决于边界 L 在该边界节点处的外法线方向 是否与网格线相重合， 对应有不同的差分离散化结果。 当边界 L 在边界节点 o 处的外法向 n 与网格线相重合时，如图 4-4 所 示，则问题在于如何用差商近似替代法向导数 。 显然， 最简洁的处
可见， 对应于式（4-2）和式（4-3）， 它们 都截断于 hf′(x0)项， 而把 h2项和更高幂次的 项全部略去。 换句话说， 就式（4-2）、 式 （4-3）而言， 略去余数项所引入的误差将 大致和 h 的一次方成正比。
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而对于式（4-4）的一阶中心差商表达式则相当于把相应的泰勒公式
理方法是依据式（4-3）， 这样， 第三类边界条件在此情况下的差分计算 格式为
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当边界 L 在边界节点 o 处的外法向 n 与网格线不重合时，如图 4-5 所 示， 显然有
于是， 关于 o 点的差分计算格式是
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第二种情况是在边界处引入的相应节点不落在边界 L 上， 这时如图 4-6 所示，可在邻近边界的节点 o 上仍按上述方法列出差分计算格式，只是需引 入与节点 o 相关的边界节点 o′，取点 o′处的外法向 n 作为点 o 处的“外法向 n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和 f2(ro)均在点 o′上取值。这 样，将式（4-14）中的 f1(ro)和 f2(ro)改记为 f1(ro′)和f2(ro′)，即得此种情况下关 于 o 点的差分计算格式。
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为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法的基本 思想是利用网格剖分将定解区域（场域）离散化为网格离散节点的集合， 然后，基于差分原理的应用，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的 偏导数，这样，待求的偏微分方程定解问题可转化为相应的差分方程组 （代数方程组）问题，解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题 的离散解，若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上 的近似解。 对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的 步骤通常是： 1）采用一定的网格剖分方式离散化场域； 2）基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及定解条件进行差分离散 化处理(一般把这一步骤称为构造差分格式)；
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应当指出，从实际电、磁场问题的分析需要出发， 如图 4-7 所示， 以通量线（如 E 线）为边界的第二类齐次边界条件是常见的一种情况。 这时，边界条件的差分离散化可沿着场域边界外侧安臵一排虚设的网格节 点， 显然， 对于边界节点 o， 由于该处 相应于第二类齐次边界条件 ， 故必有 u1 = u3，因此
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第 4 章 有限差分法
本章基于差分原理阐述了在电磁场数值计算方法中应用最早的有限差分 法，并以正方形网格划分的离散模式为主体，重点讨论了静态场中方法应用 的全过程，并介绍了时变电磁场中直接将麦克斯韦方程组中的旋度方程转化 为差分方程的时域有限差分法。
4.1 概述
在电磁场数值计算方法中，有限差分法(Finite Difference Method，简称 FDM)是应用最早的一种方法。有限差分法以其概念清晰，方法简单、直观 等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。现阶段各种电磁场数 值计算方法发展很快，尤其是在有限差分法与变分法相结合的基础上形成的 有限元法日益得到广泛的应用，但有限差分法以其固有的特点仍然是一种不 容忽视的数值计算方法。例如，面向高频电磁场的传输、辐射、散射和透入 等工程问题的需求，基于麦克斯韦方程组中旋度方程直接转化为差分方程的 时域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method，简称FDTD)即从传 统的有限差分法中脱颖而出，成为在上述一系列工程问题中广泛应用的数值 计算方法。
以差分格式表示，即为 将εa 乘以式（4-16）与εb 乘以式（4-17）后相加， 代入由式（4-18）和 式（4-19）所给定的边界条件， 并令 K =εa/εb，便得待求的两种不同媒质分 界面上边界条件的差分计算格式为
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（2） 分界面对于网格呈对角线形态的情况 此时，差分计算格式的推导及其处理方法与上类同， 但为提高差分离 散化的逼近度， 尚需引入 M、 N 两个辅助节点（ M、 N二点分别是线段14 和23的中点）， 如图 4-9 所示。对于节点 o， 如同前述，当媒质依次代换时， 相应的五点差分格式分别与式（4-16）和式（4-17）相同。依据分界面上的 边界条件，现应有
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由此， 仿照式（4-2）和式（4-5）， 偏导数也可近似地用相应的差商来表达。 若设定函数 u (x, y, z)， 当其独立变量 x 得到一个很小的增量Δx = h 时， 则 x 方向的一阶偏导数可以近似表达为
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
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注意到在以上各式中 ua1、 ua4、 uaM、 ub2、 ub3和 ubN 都是虚设电位值，但应用线性插值，它们可由以下方 程相互关联：
因此，由实际存在的电位值
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可以消去所有虚设电位值，得出关于这类边界条件的差分计算格式
4.3.4 对称线的差分计算格式 在实际分析电、 磁场分布时， 经常可观察到 场分布的对称性， 因此，在数值计算中计及场的 对称线条件，即可缩小分析计算的场域，从而在 对计算机存贮容量要求不变的情况下，可获得更 为理想的数值解。 设如图 4-10 所示， AA′线为二维泊松场的对 称线。此时，对位于对称线上的任一节点 o， 由 式（4-10）， 并依据场的对称性，即有 u1 = u3， 因此相应的差分计算格式为
3）由所建立的差分格式(即与原定解问题对应的离散数学模型——代数方程 组)，选用合适的代数方程组的解法，编制计算程序，算出待求的离散解。
有限差分法有上述大致固定的处理和计算模式，具有一定的通用性。
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4.2 差分与差商
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值 所构成的差商来近似逼近相应的偏导数， 而所谓差商则是基于差分应用的数 值微分表达式。 设一函数 f(x)， 其自变量 x 得到一个很小的增量Δx = h， 则 函数 f(x)的增量 称为函数 f（x）的一阶差分。显然，只要增量 h 很小， 差分Δf与微分 df之间 的差异将很小 。 一阶差分仍是自变量 x 的函数，相类似地按式（4-1）计算一阶差分的差 分， 就得到Δ2f(x)，称之为原始函数 f(x)的二阶差分。 同样， 当 h 很小时， 二阶差分Δ2f(x)逼近于二阶微分d2f。依同理，可以定义更高阶的差分。
4.3 差分格式的构造
现以二维静态电、 磁场泊松方程的第一类边值问题为例， 来具体阐明有 限差分法的应用。设具有平行平面场特征的电磁场场域 D， 如图 4-2 所示， 为一由闭合边界 L 所界定的平面域，其定解问题可表述为
4.3.1 偏微分方程的离散化—五点差分格式
通常采用完全有规律的分布方式， 这样 在每个离散点上就能得出相同形式的差分方 程， 有效地提高解题速度，因而经常采用正 方形网 格的剖分方式。现即以这种正方形网 格剖分场域 D， 也就是说，用分别与 x、 y 两坐标轴平行的两簇等距（ 步距为 h）网格 线来生成正方形网 格， 网格线的交点称为 节点，这样，场域 D 就被离散化为由网格节 点构成的离散点的集合。
即 此式称为对应于泊松方程的差分方程。 如果位函数 u 满足的是拉普拉斯方程 （即令式（4-8）中的右端项 F = 0）， 则差分离散化后所得差分方程是
出现待求函数 u 在点 o(xi，yj)与其四个邻点 上的值，故通常称为五点差分格式。
边界条件，对具体问题中可能存在的衔接条 件，进行差分离散化处理。
的差分计算格式为
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4.3.3 不同媒质分界面上边界条件的差分计算格式
当给定的边值问题含有多种媒质时，取决于不同媒质的电磁特性和不同 媒质分界面的几何形状， 将对应有类型繁多的差分计算格式，这里仅选取 两种典型情况进行分析。 （1） 分界面与网格线相重合的情况 以二维电场问题为例，设分界面 L′ 与网格线相互重合，如图 4-8 所 示。且设在媒质εa 中位函数 ua 满足泊松方程，而在媒质εb 中位函数 ub 满 足拉普拉斯方程。 现若将媒质εb 换以媒质εa， 则对于 o 点， 据式 （4-10）可得