概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。

解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以 151115()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

（2）因为Y 的取值为2,3，4，9当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故121{2}3015C P Y ===； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故135151{3}30302C P Y ==== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故1442{4}303015C P Y ==== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 993{9}303010P Y ====112314673()234915215103015E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。

（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。

由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

1(1)(2)(3)(4)(5)6P X P X P X P X P X ==========(7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 111=⨯= 6121711215759()63663612i i E X i i ===+=+=∑∑2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。

（设诸产品是否为次品是相互独立的。

）解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)kk k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率{1}{0}{1}P Y P Y P Y ≤==+=101191010(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)k k k C C -=+ 109(0.9)(0.9)34860.38740.7361=+=+=则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律由于X 取值为0，1，2，3，4。

0.2369p =，则(4,0.2369)X B :于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===134{1}(0.2639)(0.7361)40.26390.39890.4211P X C ===⨯⨯= 2224{2}(0.2639)(0.7361)60.06960.54180.2263P X C ===⨯⨯=334{3}(0.2639)(0.7361)40.01840.73610.0542P X C ===⨯⨯= 444{4}(0.2639)0.0049P X C ===（4）求数学期望()00.293610.421120.226330.054240.0049E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。

将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。

）试求()E X 。

解 （1）求X 的分布律由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3464= 种放法。

其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1{4}64P X ==； 又{3}X = “3X=”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个盒子中，共有328=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X=这一要求，需要除去，故有3217{3}6464P X -===“2X=”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有3327=种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有328=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X=这一要求，需要除去，故有333219{2}6464P X -===171937{1}1{1}164646464P X P X ==-≠=---= 即（2）求()E X37197110025()1234 1.5625646464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯===。

4（1）设随机变量X 的分布律为132{(1)}3j j j P X j +=-=，（1,2,3,j =L ），说明X 的数学期望不存在。

（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。

试说明要游戏结束的摸球次数X 的数学期望不存在。

解 （1）因为级数111113332(1){(1)}(1)3j j j j j j j j j P j j j ∞∞+++==--=-⋅∑∑11(1)2j j j +∞=-=∑， 这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。

所以其数学期望不存在。

（2）以k A 记事件“第k 次摸到黑球”，以k A 记事件“第k 次摸到白球”，以k C 表示事件“游戏在k 次摸球时结束”，1,2,3,k =L 。

按题意，121k k k C A A A A -=L ，由乘法公式得1211122211()(|)(|)(|)()k k k k k P C P A A A A P A A A A P A A P A ---=L L L 而 11{1}()2P X P A ===2211111{2}()(|)()32P X P A A P A A P A ====⨯ 21221112111(|)(|)()43243P A A A P A A P A =⨯⨯=⨯，一般地，若当X k =时，盒中共有1k +只球，其中只有一只白球，故1211211122211()()(|)(|)(|)()k k k k k k P X k P A A A A P A A A A P A A A A P A A P A ----===L L L L1121211111432k k k k k k k--=⨯⨯⨯⨯=⨯+-+L 若()E X 存在，则根据数学期望的定义，就有111111()()11k k k E X kP X k k k k k ∞∞∞======⨯=++∑∑∑，而调和级数111k k ∞=+∑却是发散的，此即表明数学期望()E X 不存在。

5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以min 计）是一个随机变量，其概率密度为221,01500,15001()(3000),15003000,15000,x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪-⎪=-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它 求()E X解 按连续型随机变量的数学期望的定义有01500()()()()E X xf x dx xf x dx xf x dx ∞-∞-∞==+⎰⎰⎰300015003000()()xf x dx xf x dx ∞++⎰⎰201500201500x dx dx -∞=⋅+⎰⎰300022150030001(3000)01500x x dx dx ∞-+-+⋅⎰⎰ 315000231500x =⨯323000150021(1500)15003x x -+-6 设随机变量X 的分布律为求()E X ，2()E X ，2(35)E X + （2）设()X πλ:，求11E X ⎛⎫⎪+⎝⎭解 ()20.400.320.302E X =-⨯+⨯+⨯=-； 2222()(2)0.4(0)0.3(2)0.3 2.8E X =-⨯+⨯+⨯= 或 所以 2()00.340.7 2.8E X =⨯+⨯=。

222(31)(3)(5)3()53 2.8113.4E X E X E E X +=+=+=⨯+=（2）因为 !k k e p k λλ-=，0,1,2,k =L所以 001111!(1)!k k k k e E e X k k k λλλλ-∞∞-==⎛⎫=⋅= ⎪+++⎝⎭∑∑ 1011(1)(1)!!k kk k ee e k k λλλλλλλ+∞∞--=====-+∑∑11(1)(1)e e e λλλλλ-=-=-（注 在公式0()k k k E X x p ∞==∑中现在的11k x k =+，!k k e p k λλ-=，0!k k e k λλ∞==∑） 7 （1）设随机变量X 的概率密度为,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩求（ⅰ）2Y X =，（ⅱ）2XY e-=的数学期望；（2）设随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布（ⅰ）求12max{,,,}n U X X X =L 的数学期望， （ⅱ）求12min{,,,}n V X X X =L 的数学期望。

解 （1）0()(2)2()2x E Y E X xf x dx xe dx ∞∞--∞===⎰⎰02()x x xee dx ∞-∞-=-+⎰022xe -∞=-=2220()()()Xx x x E Y E e e f x dx e e dx ∞∞-----∞===⎰⎰3301133x xe dx e ∞--∞==-=⎰。

（2）因为（ⅰ）因为随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为1,01()0,i X x f x <⎧=⎨⎩＜其它其分布函数为0,0(),011,1i X x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩1,2,,i n =L而 12max{,,,}n U X X X =L 的分布函数为即max 0,0(),011,0nz F z z z z <⎧⎪=≤<⎨⎪>⎩，于是1max ,01()0,n nz z f z -⎧≤<=⎨⎩其它111max 00()()11n n n nE Z zf z dz nz dz z n n ∞+-∞====++⎰⎰。