例如，求 E ( M )
解：P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )
3 r的向量线。 4 0 r q
q x ( x2 y 2 z 2 ) y
3 2
4 0 q 4 0 q 4 0
( x2 y 2 z 2 ) z
i 1 i 1
取极限：令 d max {si } ，则力场 F 所作的功为
1 i n
W lim F ( i , i , i ) [siT ( i , i , i )].
d 0 i 1
n
二、第二型曲线积分的定义
设曲线 C 是向量场 A( x , y , z ) 所在空间中一条以 A
C
A ds
C
Ads 。
7．2 第二型曲线积分的计算
定理 设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x ( t ), y y ( t ),
z z (t ) ，曲线 C 的起点 A 对应 ，终点 B 对应 ， t t
当 t 单调地由 变到 时，动点 M ( x , y , z ) 描出由点 A 到点 B 的曲线弧 C。
B(0, b)
x
解： （1）椭圆
x2 a
2

y2 b
2
1 的参数方程为
3 x acost ，且起点 A t 0 ，终点 Bt ， 2 y bsint
∴ ⌒ xdy ydx AB 0
C C
{ P[ x ( t ), y ( t )]x ( t ) Q[ x ( t ), y ( t )] y ( t )}dt 。 ②

（2）若平面曲线 C 的直角坐标方程为 y y ( x ) ，
起点 A x a ， 终点 B x b ，则有
C
A( x, y) ds Pdx Qdy
例 3．计算曲线积分 xdy ydx ，其中积分路径为
C
（1）在椭圆 2 2 1 上，从 A(a ,0 ) 经第一、二、三 a b 象限到点 B ( 0, b ) ；
b y x b 上，从点 A(a ,0 ) 到点B ( 0, b ) 。 （2）在直线 a
x2
y2
y
o
A(a ,0)
C
A( x , y , z )T ( x , y , z )ds
n
lim A( i ,i , i )T ( i ,i , i )si .
d 0 i 1
C
可以证明，当 A( x , y , z ) 在有向光滑曲线 C 上连续时， A( x , y , z ) T ( x , y , z )ds 必存在。
Ai 1 Ai 的长度记为si 。
⌒
⌒
近似： M i ( i , i , i ) Ai 1 Ai ，则质点沿曲线 C 从
⌒
点 Ai 1 移动到 Ai 时 ，力场 F 所作的功的近似值 Wi Fi [siTi ] F ( i , i , i ) [si T ( i , i , i )]
引例中力场F 所作的功可以表示为 W F ( x , y , z ) T ( x , y , z )ds 。
C
设 A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k ，
解法 1：将所给积分化为对 x 的定积分来计算。 解法 2：将所给积分化为对 y 的定积分来计算。 ⌒ ⌒ y x ，需分段，C=AO+OB， y B(1, 1) 2 y y B(1, 1) C： x y ， ： 11 。 ⌒ y2 x x AO： y x ， ：1 0 ； y2 x
P ( x , y , z )dx Q ( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
C
上式是第二型曲线积分的坐标形式，因此第二型曲线积分 也叫做对坐标的曲线积分。
C
通常将Tds 记为 ds ，即 ds {dx, dy, dz} ，
ds 称为弧长向量微元。
又设向量值函数 A( x , y , z ) { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}
在 C 上连续，则
C C { P[ x(t ), y(t ), z(t )]x(t ) Q[ x(t ), y(t ), z(t )] y(t )
∵T 1 {dx, dy, dz} {dx, dy, dz} ， ds (dx) 2 (dy) 2 (dz) 2 1
∴ A Tds A {dx, dy, dz} Pdx Qdy Rdz 。 ∴ A( x , y , z )T ( x , y , z )ds
其中 Ti T ( i , i , i ) 是质点在点 Mi 处沿曲线 C
的单位切线向量。
力场 F 求和：质点沿曲线 C 从点 A 移动到 B 时，
所作的功的近似值 n n W Wi F ( i , i , i ) [siT ( i , i , i )]
AOB( x y)dx( x y)dy

AO
y
B(0, 1)
( x y)dx( x y)dy

0
OB
( x y)dx( x y)dy
o
A(1,0)
1
x
1 1 xdx ( y )dy 1. 1 0 2 2
从例 2 看出，虽然沿不同路径，但曲线积分值可以相等。
C
b a
{ P[ x, y( x )] Q[ x, y( x )] y( x )}dx
③
公式①②③中定积分的下限、上限分别为对应于 有向曲线弧 C 的起点、终点的参数值，下限不一定 小于上限。
例 1．计算 xydx ，其中 C 为抛物线 y 2 x 上从
C
点 A(1, 1) 到点 B (1, 1) 的一段弧。
第七章 向量函数的积分
第1节 场的概念
场：某种物理量在空间（平面）区域内的一种分布。
按照该物理量是数量还是向量，将场称为数量
场与向量场。 场量在区域（场域）内的分布可以用定义在该区域 内的一个函数来描述，给定了一个函数（场函数)就相 当于给定了一个场。 u(M ) u( x, y, z) M ( x, y, z) 数量场：
R[ x(t ), y(t ), z(t )]z(t )]}dt
①
A( x, y, z )ds Pdx Qdy Rdz
注:
（1）当 C 是平面曲线，其参数方程为 x x ( t ), y y ( t ) 时， 则有 A( x , y ) ds Pdx Qdy
1． （线性性） 设 k1 , k 2 为常数，则
C
[k1A k2 B]ds k1
C
Ads k2
C
Bds.
2． （积分弧段的可加性）若曲线弧 C 由C1与 C 2 首尾 相接而成，则
C
Ads
C1
Ads
C2
Ads.
3． （方向性）若C 是与 C 方向相反的有向曲线弧，则源自0o
A(1,0)
x
2[(cost sint )( sint ) (cost sint )cost ]dt
2[cos2t sin2t ]dt 1.
0
1 dy （2） AO 的方程为 y 0 ，x： 0 ， 0 ；
OB 的方程为 x 0 ，y：01 ， 0 。 dx
3 2
( x2 y 2 z 2 ) dx dy dz dx dy dz 点电荷所产生的静电场的向量线 P Q R x y z y C1 x z C2 x 因此电力线就是向量线。
3 2
第2节 第二型(对坐标的)曲线积分
7.1 .2 第二型曲线积分的概念 一、引例：变力沿曲线所作的功
等值面：f ( x, y, z ) C 等值线：f ( x, y) C 在 数量场中：
在 向量场中： 向量线：任一点（x, y , z )处的切向量
与向量场F ( x, y, z )共线的曲线。 dx dy dz P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )
1
例 2．计算曲线积分 ( x y )dx ( x y )dy ，路径 C 是
C
⌒ （2）折线 AOB。 y （1）圆弧 AB；
⌒ 解： （1）圆弧 AB 的参数方程为
x cos t ， y sint ； t :0 。 2
B(0, 1)
⌒ AB( x y)dx( x y)dy
为起点，B 为终点的有向光滑曲线弧。依次用分点
A A , A1 , A2 , An1 , An B ，把 C 任意分成 n 个有向
小弧段 Ai⌒Ai ( i 1,2,, n) ， Ai⌒Ai 的长度记为 si ， 1 1
令 d max { si } ， M i ( i , i , i ) Ai 1 Ai ，作和式
1 i n
⌒
i 1
A( i , i , i ) T ( i , i , i )si ，其中 T ( i , i , i ) 是
n
C 上点 M i 处相应于所给方向的单位切线向量。
如果当 d 0 时
，和式的极限总存在，则称此极限为
向量值函数 A( x , y , z ) 沿有向曲线 C 的第二型曲线积分， 记作 C A( x , y , z ) T ( x , y , z )ds ，即