第八章练习题
（一）填空题
1. 直线
2
2111z
y x =+=--与z 轴夹角的余弦是 . 2. 设直线
x y z
-=
+=1
1
12
5
在平面x +2y －z +k =0上，则 k =______.
3. 球面x 2－2x +y 2＋y +z 2=0的球心是______.
4. 点（－1，－2，－1）到平面0522=-++z y x 的距离d= .
5. 方程2
2
y x z +=表示的二次曲面是 .
（二）选择题
1.同时与向量a
={2，1，4}和z 轴垂直的向量是 ( )
A . {－2，1，0}
B . {1，－2，0}
C . {2，1，0} D. {1，2，0} 2．若一直线的方向向量为{2,3,3}，则此直线与z 轴的夹角是（ ）。

A . 0
B .
3
π
C .
2
π D.
4
π
3. 设向量k j b k,j a 2
3
213-=+-=，那么（ ）。

A .a b ⊥
B . a ∥b 且a b ,同向
C . a ∥b 且a b ,反向
D. a 与b 既不平行，也不垂直
4.与向量a ={1，0，－1} 垂直的单位向量是( ) A .{－1，0，1} B . {1，0，1} C . {
2
1,
0,2
1} D.{1/2， 0，1/2}
5．方程y +z =0 的图形是( )的平面.
A .平行于坐标面yz
B .平行于y 轴
C .过x 轴 D.平行于z 轴
6．过点(1,2,1)M -且与平面010352=-+-z y x 平行的平面方程式是-------( ) A. 2(1)5(2)3(1)0x y z ---+-=; B. 253110x y z +++= C. 253110x y z -++=; D. 253110x y z ---= （三）计算题
1．求过点(1，1，1)且平行于直线⎩⎨⎧=--=-+0
2223z x z y x 与 11122z
y x =-+=-的平面方程.
2.写出二平面3x －5y +z =0和x +2y －z =3交线方程的对称式方程.
3.求通过z 轴和点P 0（1，1，－1)的平面方程.
4.求通过点M 0(1，0，1)且垂直于向量1s ={1，2，1}和2s ＝{3，1，0}的直线方程.
5.求过点(2，1，7) 且与xOy 平面的交线是⎩
⎨⎧==+03
z y x 的平面方程.
6．设一平面经过原点以及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面的方程
12240
7.::113380
x z L L x y z y z --=⎧-=+=-⎨-+=⎩试求通过直线且与直线平行的平面方程.
121211212
8.:,:,,121012
.
x y z x y z L L L L -++--====--设有两直线求平行于且与它们等距的平面方程
,,:(1)||||;(2)|||||;(3)=-=--9.设 为两个非零向量指出下列等式成立的充分必要条件与共线a b a +b a b a +b a |b a +b a b .
10.,:设为非零向量判断下列等式是否成立a,b,c 222(1)()();(2)();(3)()()=⨯=⨯a b c a b c a b =a b a b c a b c.
2011年考研数学试题高数上册部分
数学一部分
1.曲线()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 的拐点是（ ）
（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）
4、设44
40
ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π
π
π
=
==⎰
⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )
（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 10、微分方程x e
y y x
cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y
15、（本题满分10分）求极限1
1
0ln(1)lim x
e
x x x -→+⎛⎫
⎪⎝⎭
17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有
111
ln(1)1n n n <+<+
数学三部分
1.已知当x →0时，函数f(x)=3sinx-sin3x 与k
cx 是等价无穷小，则 (A) k=1,c=4 (B) k=1,c=-4 (C) k=3,c=4 (D) k=3,c=-4
2. 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则2330()2()
lim x x f x f x x
→-= (A) '
2(0)f
- (B) '(0)f - (C) '(0)f (D) 0
(9)设0
()lim (13)x
t
t f x x t →=+，则'
()f x =
(11)曲线tan()4
x x y e π
++=在点(0,0)处的切线方程为____________
(12)
曲线y =x=2及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积 15.
求极限0
1
lim
ln(1)
x x x x →-+
17.
求
18.
证明44arctan 03
x x π
-+=恰有2实根。

练习题答案
（一）1.2/3； 2.1 ； 3.(1，－1/2，0)； 4.4 5. 抛物面 （二）1．B ； 2.B 3.C 4.C 5.C ； 6.C （三）
1.x －3y +z +1=0 ；
2. 11
49
4343+
==-
z y x ； 3 .z +1=0； 4.
5
1
311--=
=--z y x ； 5. 3=+y x 。

6.解：利用向量积求平面的法向量，记点（6，-3，2）为P,则)2,3,6(-=op ,平面824=+-z y x 的法向量为)2,1,4(-=n 所求平面的法向量为
)3,2,2(2)2,1,4()2,3,6(1--=-⨯-=⨯=n op n
于是所求平面的方程为0)0(3)0(2)0(2=---+-z y x 即： 0322=-+z y x
121212122121212121212(24)(38)0,3(2)480.
,(,3,2)(1,1,1)0,320,20.
2,1,250.x z y z x y z L x y z λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--+-+=++---+=--=+--=-+===+-=所求平面方程有形式
由于平面与平行令得所求平面方程37.解
12
1(5,2,1),(1/2,1/2,1/2),
12
5(1/2)2(1/2)(1/2)0,5210.
A x y z x y z =-=---=--+----=+++=所求平面过点所求平面:-i j
k
n 8.解
222222222222(1)||||||||||||2||||20,(2)|||||||(|||)||||2||||2||||||||||||cos ||||cos 1,(=-⇔=-⇔++=++⇔⇔=-⇔=-⇔++⇔+-⇔=⇔<>=-⇔<>=-⇔正交.
共线且方向相反a +b a b a +b a b a b a b a b a b a b =a b a +b a |b a +b a |b a b a b a b a b a b a b a b a,b a b a,b a b .
9.解3)()()000,-⇔⨯-=⇔⨯-⨯=⇔⨯⇔与共线共线.
a +
b a b a +b a b b a a b a b =a b
222(1)()().(2).:()0 1.
(3).()(),=≠=≠=⨯⨯0不成立.例如:不成立例如成立和都是的有向体积且定向相同i i j j i i j i j =i j a b c a b c a,b,c .
10.解。