n
X i ~ B(n, p).
i 1
（3）若X与Y相互独立且X~B(n,p),Y~B(m,p),则
X+Y~B(n+m,p).
(4) 若X与Y相互独立且X ~ P(1),Y ~ P(2 ), 则 X Y ~ P(1 2 )。
5. min(X,Y)及max(X,Y)的分布律
M1 min( X ,Y )表示取x与y中较小的数值， M 2 max( X ,Y )表示取x与y中较大的数值， M1与M 2也是X与Y函数。
解 当Y 0时，FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} 0;
当Y
0时，FY P{ y
( y) P{Y y} X y}
y
P{ X 1
2 y} x2
e 2 dx
2
y
1
x2
e 2 dx
y 20 2ຫໍສະໝຸດ pY(y)
1
y 1
e 2y 2,
2
y 0;
0, y 0.
Z1 1 2 3 3 2 1 Z2 1 0 1 1 0 1
所求分布律为：
Z1 2 1 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4
Z2 0
1
P 0.6
0.4
4. 几个重要结论
（1）若X与Y相互独立且都服从B(1,p),则
X+Y~B(2,p). （2）若X1, X2,…, Xn相互独立且都服从B(1,p),则
Y2 0 1 2.25 P 0.2 0.4 0.4
3. 二维离散型随机变量的函数
设二维离散型随机变量（X,Y)的函数Z=f(X,Y), 若（X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij .
P{ X xi ,Y y j } P{ f ( X ,Y ) f (xi , y j )}
解
X p(
~ x)
N(,
1
2
), e
(
x )2 2 2
,
2
则Y的分布函数
FY ( y) P{Y y}
P{ X y}
P{X y } 1
( x )2
y
e
2 2
dx,
2
则Y的分布密度
pY ( y) FY( y)
1
y2
e 2,
2
Y X ~ N(0,1).
例 设X ~ N(0,1)，求Y X 2的分布密度。
例 若X的分布律为： X -1 0 1 1.5 P 0.1 0.2 0.3 0.4
求Y1 2X 1,Y2 X 2的分布律.
解 可列表计算
X -1 0 1 1.5 P 0.1 0.2 0.3 0.4
Y1 3 1 1 2 Y2 1 0 1 2.25
所求分布律为：
Y1 3 1 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4
分布函数法
(1)将FY ( y) P{Y y} P{ f ( X ) y}
h( x)
P{X h( y)} p(x)dx h( y )
or P{ g( y ) X h( y )} p( x )dx; g( y ) (2)对y求导，即可得到pY ( y).
例 重要结论
若X ~ N(, 2 ),则Y X ~ N(0,1).
内容
§3.1离散型随机变量的函数 §3.2连续型随机变量的函数
学习目标
1.离散型随机变量的函数（一维、二维） 2.连续型随机变量的函数（一维、二维）
§3.1 离散型随机变量的函数 1 函数概念的引入
我们的问题是：如何根据已知 随机变量的分布，来求函数
的分布。
2. 一维离散型随机变量的函数
设一维离散型随机变量X的函数Y=f(X),
5. min(X,Y)及max(X,Y)的分布密度 仍然 用分布函数法求他们的分布密度。
对于n维的，可类似地确定它的分布律：
例 若(X,Y)的分布律为：
X Y -1
-1
0.3
1
0
0
1
0.2 0 0.4 0.1
求Z1 2X Y , Z2 XY的分布律.
解 可列表计算
(X,Y) (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (1,-1) (1,0) (1,1)
P
0.3 0.2 0 0 0.4 0.1
P{Z f ( xi , y j )} pij ,
可按下面方法求出Z的分布律：
（1） 由X xi ,Y y j计算Z f (xi , y j ), 根据P{Z f (xi , y j )} pij写出Z的分布律；
(2) 如果有多个f (xi , y j )的数值相同，则 根据概率的可加性将对应的pij相加。
例1.2中，计算M 的分布律。
1
min(
X ,Y )与M 2
max( X ,Y )
(X,Y) P
min(X,Y) max(X,Y)
(-1,-1) (-1,0) (1,0) (1,1) 0.3 0.2 0.4 0.1 -1 -1 0 1 -1 0 1 1
§3.2 连续型随机变量的函数
1 一维连续型随机变量的函数
结论1 若X ~ N(, 2 ),则Y X ~ N(0,1).
结论2
若X ~ N(, 2 ),则Y kX b ~ N(k b, k 2 2 ).
结论3
若X与Y相互独立，且X
~
N
(1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
).
则，Z
X
Y
~
N ( 1
2
,
2 1
2 2
).
4 正态随机变量的二次函数的分布
Z X Y的分布密度为
pZ (z)
p(x, z x)dx.
证明
例 在射击试验中，在靶平面上建立以靶心为 原点的直角坐标系，X与Y分别表示弹着点的横 坐标和纵坐标。已知X与Y独立，且都服从正态 分布N(0，σ2），试求“弹着点到靶心的距离”
Z X 2 Y 2的分布。
3 正态随机变量的线性函数的分布
而X的分 布律 为P{ X xi } pi
P{ X xi } P{ f ( X ) f (xi )}
P{Y f (xi )} pi ,
可按下面方法求出Y的分布律：
（1）
由X P{Y
xi 计 算Y f (xi )}
pi写f (出xi )Y,的根分据布律；
(2) 概如率果的有可多加个f性(x将i )的对数应值的p相i相同加，。则根据
2 二维连续型随机变量的函数
类似于一维函数，也可以用分布函数法，
(1)写出FZ (z) P{Z z} P{ f ( X ,Y ) z}
P{( X ,Y ) Dz } p( x, y)d xy
DZ
(2)将二重积分化为 z
pZ
(t )dt;
(3)对z求导，即可得到pZ (z).
例 若(X ,Y )的分布密度为p(x, y),则