f X ( x)
1 2 X

( x mX )2
2 2 X
e
Y b X h(Y ) a
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
1 e 2 a X
1 2 X
e
y b mX )2 a 2 2 X (
1 a
( y amX b ) 2
2 2 a 2 X
mY am X b
2 2 Y a 2 X
2
例 : 平方律检波的输入输出的关系为 : Y bX 2 b 0 已知输入随机信号X的概率密度为f X ( x), 求输出 随机信号Y的概率密度fY ( y ).
X 1 h1 ( y ) Y b X 2 h2 ( y ) Y b
X 1 h1 (Y ) X 2 h2 (Y )
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y )
' f X (h2 ( y )) h2 ( y )
1
例1.1.5 随机变量X和Y满足线性关系Y aX b, X为高斯变量, a, b为常数, 求Y的概率密度.
fY ( y ) 1 (2 by ) [ f X ( y b ) f X ( y b )]
3
三、随机变量函数的数字特征
已知随机变量X及其概率密度f X ( x), 随机变量Y g ( X )
E[Y ] yfY ( y)dy g ( x) f X ( x)dx

t2 2 2
FT [e
] 2 e

2 2
2
fY ( y ) fY ( y )
1 2
10
e
y2 4
性质1 : ( ) (0) 1
( ) f ( x)e jx dx


f ( x) 0, 且 e jX 1

( )
Y ( ) E[e jY ] E[e j ( aX b ) ]
E[e
j b
e
jaX
]
e e
jb jb jb
E[e E[e
jaX
] ]
j ( a ) X
e X (a )
12
互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量 特征函数之积, 即 : 若Y X n , X n 之间相互独立,
5
特征函数的性质
性质1 : ( ) (0) 1
性质2 : 若Y aX b, a和b为常数, X ( )为 X的特征函数, 则Y的特征函数为 :
Y ( ) e jb X (a )
性质3 : 互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量 特征函数之积, 即 : 若Y X n , X n 之间相互独立,
随机变量X的特征函数就是由X组成的一个新的随机 变量e jX 的数学期望, 记为 : ( ) E[e jX ]

对于离散随机变量有: ( ) pi e
i 0

jxi
jx 对于连续随机变量有: ( ) f ( x)e dx
随机变量X的第二特征函数定义为特征函数的对数 ( ) ln ( )
E[Y ] E[ g ( X )]
2
只适用单调函数

D[Y ] ( y E[Y ]) fY ( y)dy [ g ( x) mY ]2 f X ( x)dx
D[Y ] D[ g ( X )]
4
பைடு நூலகம்.2 随机变量的特征函数
characteristic function 1.2.1 特征函数的定义与性质
1 e 2

( xm)2 2 2
f X ( x)
1 e 2
x2 2
Y ( ) X1 ( ) X 2 ( ) 2 ( ) X
X ( ) FT [ f X ( x)]
t2 2 2
X ( ) e


2
2
FT [e
] 2 e
h1' ( y) 1 (2 by )
' h2 ( y) 1 (2 by )
' fY ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
fY ( y ) f X ( y b ) 1 (2 by ) f X ( y b ) 1 (2 by )
1.1.3 随机变量的函数变换
一、一维变换
functions transformation of random variables
设随机变量X和Y满足 Y ( X ) ，如果X、Y之间的 关系是单调的，并且存在反函数 X 1 (Y ) h(Y )
dx fY ( y ) f X ( x) f X (h( y )) h( y ) dy
n 1 N
则 : Y ( ) E[e jY ] X n ( )
n 1
6
N
1.2.2 特征函数与概率密度的关系
X ( ) f ( x)e
jx
dx
X () F ()
FT[ f ( x)] F () f ( x)e jx dx



f ( x )e
jx
dx


f ( x )e
jx
dx

f ( x) e jx dx 1
() 1
(0) f ( x)dx 1


() (0) 1
11
若Y aX b, a和b为常数, X ( )为X的特征函数, 则Y的特征函数为 : Y ( ) e jb X (a )
2 2
2
9
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量, 数学期望 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度.
Y ( ) ( )
2 X
X ( ) e
X ( ) e

2
2
Y ( ) e
2

2
2
fY ( y ) FT 1 Y ( )
n 1 N
则 : Y ( ) E[e
jY
] X n ( )
n 1
N
Y ( ) E[e
N
jY
] E[e
jX n
j X n
n1
N
] E[ e
n 1
N
jX n
]
Y ( ) E[e
n 1
] X n ( )
n 1
13



X ( )e jx d
f ( x) FT
1
X ()
特征函数与概率密度之间的关系与 傅里叶变换略有不同，指数项差一 负号。
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量, 数学期望 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度.
f X ( x)
N


u
1 f ( x) 2



F ( )e
jx
1 d 2



F (u )e jux du
1 2



X ( )e jx d
用代替u
7
X ( ) f ( x)e jx dx F ( )


1 f ( x) 2