fs1<Cs1, 给v1标号(s, l(v1)), 其中
l(v1) min l(vs ), (Cs1 fs1) min ,5 1 4
在弧（vs，v2）上， fs2=Cs2=3, 不满足标号条件。
v2
(4，3) v4
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) vt
vi fij>0
vj (-i , l(vj))
l(vj)=min[l(vi),fji]
vj成为标号而未检查的点
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。
（二）调整过程 从vt开始，反向追踪，找出增广链µ，并在
µ上进行流量调整。 （1）找增广链
在弧（v2，v4）上，f24=3，C24=4，f24<C24, 给v4标号(2, l(v4)), 其中
l(v4 ) min l(v2 ), (C24 f24 ) min 1,1 1,
（-1，1）
v2
(4，3)
（2，1）
v4
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
（s，v14） (2，2)
后向弧：弧的方向与链的方向相反，后向弧全体记为µ-。
v2
10.5
v1 4.1
8.3
v3
5.2
3.2 5.1
6.3
v4
11.6
3.3
v5
v6
17.2
后向弧
µ=(v1,v2,v3,v4,v5,v6)
µ+={(v1,v2) ,(v2,v3), (v3 , v4),(v5,v6)} µ- ={(v5,v4)}
(2，1)
（s，v14） (2，2) v3
（3）检查v1，在弧（v2，v1）上，f21>0， 给v2标号
(-1, l(v2)), 这里 l(v2 ) min l(v1), f 21 min 4,1 1,
在弧（v1，v3）上，f13=2， C13=2，不满足标号条件。
（-1，1）
v2
(4，3)
(3，3)
定义3 设f是一个可行流, µ是从vs到vt的一条链,若µ满 足下列条件,称之为(关于可行流f的)一条增广 链。
(vi,vj) ∈ µ+ (vi,vj) ∈ µ-
0≤fij<Cij 0 < fij ≤ Cij
前向弧是 非饱和弧， 后向弧 是非零流弧，
8.4 V1
5.0
3.3
V2
V3
5.4
V4
Cij.fij
(1，1)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
（s，v14） (2，2)
v4
(5，3)
(3,0) vt
(2，1)
v3
（4）检查v2，在弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给v3标号
(-2, l(v3)), 这里 l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
（-1，1）
v2
(4，3)
流: 定义在弧集A上的一个函数f={f(vi,vj)}，并称 f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量.(简记fij)
如(a)图是一个网络
v2
10
v1
4
弧旁数字：容量
8
v3
如(b)图是网络上的一个流v2
5
弧旁数字：流量 v1
1
3
v3
5
3
5 6
（a）
2
2
1
3
（b）
v4
11
3
v6
17
v5
v4
6
3
v6
2
v5
v2
10.5
vs 2.2
5.5
v1
4.3 v4
8.6 1.0
3.3
v5
5.4
8.7
v3
Cij.fij
Vi
Vj
2、可行流与最大流
定义2 满足下述条件的流f称为可行流: 1)容量限制条件: 对每一弧(vi,vj)∈A
0≤fij≤Cij 2)平衡条件: 对中间点vi(i≠s,t),有
fij
记V1*=V\ V1*，得截集（ V1*， V1*），显然有
f
* ij
C ij
0
(v i
,
v
j
)
(V1* ,
*
V1
)
(v i
,
v
j
)
*
(V1
,
V 1*
)
所以V(f*) = C（ V1*， V1*）。于是f*必是最大流
定理2 最大流最小截定理。任一个网络D中，从vs到 vt的最大流的流量等于分离vs，vt的最小截集 的容量。
(3,0) vt
(2，1)
v3
解：（一）标号过程
（1）给vs标上（0，∞）；
例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是（Cij,fij)。
v2
(4，3)
(3，3)
(1，1)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
v1
(2，2)
v4
(5，3)
(3,0) vt
(2，1)
v3
解：（一）标号过程
（1）给vs标上（0，∞）； （2）检查vs，在弧（vs，v1）上，fs1=1，Cs1=5，
(1，1)
vs
(1，1)
(5，1)
v1
(2，2)
v4
(5，3)
(3,0) vt
(2，1)
v3
解：（一）标号过程
（1）给vs标上（0，∞）；
例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是（Cij,fij)。
v2
(4，3)
(3，3)
(1，1)
v （0，） s
(1，1)
(5，1)
v1
(2，2)
v4
(5，3)
v2
(4，3)
（2，1）
v4
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
（s，v14） (2，2)
(3,0) vt
(2，1)
v（3 -2，1）
（4）检查v2，在弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给v3标号
(-2, l(v3)), 这里 l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
不难验证，
f ** ij
是一个可行流，且
V(f **) V(f *) V(f *)
这与f*是最大流的假设矛盾。 设D中不存在关于f *的增广链，证明f *是最大流。
定义V1 * ，令vs∈V1*，若vi∈V1*，且弧（vi，vj）上， fij*<Cij，则令vj∈ V1*，若vi∈V1*，且弧（vj，vi）上， fji*>0，则令vj∈ V1*。 因为不存在关于f*的增广链，故vt ∈V1*，
（-1，1）
v2
(4，3)
v（4 2，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
µ（vs,v1,v2,v3,vt） =1，
（s，v14）
在µ上进行流量
v2
(3，3)
(2，2) (4，3) (1，0)
(3,0) vt（3，1）
(2，1)
v3
（-2，1）
v4
(5，3)
=1的调整，得 可行流f ’如右
弧旁数字：运输数量。
问题：这个运输网络中，从v1到v6的最大输送量是多少？
一、基本概念与定理
1、网络与流
定义1 给定一个有向图D=（V，A），在V中指定 一点vs称为发点，指定另一点vt称为收点， 其余点称中间点。任意弧(vi，vj)∈A，有 Cij≥0，称为弧的容量。称D为一个容量网 络。记为D=（V，A，C）。
vs
(1，0)
(5，2)
(3,0) vt
(2，2)
图所示：
v1
(2，2) v3
去掉各点标号，从vs开始，重新标号。
v2
(4，3) v4
(3，3)
(1，0)
(5，3)
（0，∞） vs
(1，0)
(5，2)
(3,0) vt
(2，2)
（sv，1 3） (2，2) v3
点v1：标号过程无法进行，所以f ’即为最大流。
量），记为C （V1，V1）， 即
C(V1, V1)
Cij
(vi ,v j )(V1 ,V1 )
不难证明：任何一个可行流的流量V(f)都不会
超过任一截集的容量。即 V(f) C(V1, V1)
可行流f*，截集(V1*，V1*), 若V(f*)=C( V1*，V1*）， 则f*必是最大流， (V1*，V1*) 必是D的最小截集。
v4
(3，3)
((5，1)
(3,0) vt
(2，1)
（s，v14）
(2，2)
v3
（-2，1）
（4）检查v2，在弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给v3标号
(-2, l(v3)), 这里 l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
（-1，1）
3、增广链
对可行流f={fij}：
非饱和弧：fij<Cij 非零流弧：fij>0
饱和弧：fij=Cij 零流弧：fij=0
链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的
方向是从vs到vt。 v2