离线考核
《高等数学（二）（高起专）》
满分100分
一、解答题（每小题20分，共100分。

）
1.设2
(1)35f x x x +=++，求函数()f x 的单调区间与极值。

答：先求函数()f x 。

因为2(1)35f x x x +=++，令 221,1,
()(1)3(1)53t x x t f t t t t t =+⇒=-=-+-+=++，
故2()3f x x x =++。

再来求函数()f x 的单调区间与极值。

令
1()2102
f x x x '=+=⇒=- 为唯一的驻点。

又()20f x ''=>，故函数有唯一的极小值111()24f -=，从而得单调减少区间为1(,)2
-∞-，单调增加区间1(,)2
-+∞。

2. 利用洛必达法则求0sin 3lim ln(14)
x x x →-。

答：00sin 33cos333lim lim 4ln(14)44
14x x x x x x
→→===-----。

3. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。

答：设两个直角边长分别是,(,0)x y x y >，则有
222
x y l y +=⇒=。

从而周长函数为
(0)y x l x l =<<。

令
10,y x '==⇒=。

由此可知，斜边之长为l 的一切直角三角形中，有最大周长的直角三角形是等腰直角三角形。

4. 求积分5sin xdx ⎰。

答：利用换元积分法，有
5422sin sin (sin )(1cos )(cos )xdx x xdx x d x ==--⎰⎰⎰
， 令cos u x =，就有
5
52224
32sin (1)(12)35u xdx u du u u du u u C =--=--+=-+-+⎰⎰⎰， 将cos u x =代入即可得到
55
32cos sin cos cos 35x xdx C x x =-+-⎰。

5. 求微分方程2
()x y y y '+=的通解。

答：变形得 2
dy y dx x y =+， 这是非线性方程。

为此，视x 为y 的函数，就有
2dx x y x y dy y y
+==+。

这是以x 为未知函数的一阶线性方程，其中1(),()P y Q y y y
=-
=。

代入求解公式即可得到 1
1
2[]()dy dy y y x e C ye dy Cy y y y C -⎰⎰=+=+=+⎰。