拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
t t
8 卷积定理L[ [f i(t—l)f2&)dE] =L[ [f i(t)f2(t—l)dl] = F i(s)F2(s)
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行
反变换。

设F(s)是s 的有理真分式
A(s)二0有重根
设A(s) = 0有r 重根s ，F(s)可写为
F s
-(s-s ,)r
(s-s ri ) (s-s n )
B(s)
b m 「4 g b0
A(s)
n ,
n 」
a n S - a n 」s 山…“y s - a 。

式中系数a 0, a i ,..., a n J ,a n , b °,b i , b m 」,b m 都是实常数; 将F(s)展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

m,n 是正整数。

按代数定理可
①A(s) = 0无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

i C 2
C j
C n
F(s) 1
2
1
— s — s i s — S 2
s — s
s_s n
C i
(F-1)
式中，q,s 2,…,s n 是特征方程 A(s) = 0的根。

C i 为待定常数，称为 可按下式计算：
F(s)在S i 处的留数,
式中,
C =lim (s _sJF (s)
S T
i
c _ B(s) i
A(s)
s zs i
A (s)为A(s)对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式(
4 I l j n C i =L !F (S )】=L 巨一—
S — Sj 一 f(t)
C i
n -s i
t
=' C
i e i
i =1
(F-2)
(F-3)
F-1 )可求得原函数
(F-4)
B(s)
式中, 其中,
& r -
(S —S i) (s—s)
C i
f ,s〜) Cri
S —■
S r i
G •…©
S - s S—
S n
S i为F(s)的r重根，S r审,…,s n为F(s)的n-r个单根;
C r +，…,C n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r，C rj，…, C i则按下式计算:
f(t)为
厂c r =lim (s — sj r F
(s)
T i
d r
C ri =lim [(s -sj F(s)] ds
s :si
C i
原函数
f (t)二L°〔F(s) I
冷冗加(DE
i d(7
C i _____ . C r i ....
(F-
5)
(s -
S i)
r 1(s—s i) S —
S r*
G *…+C n
S — S j S —
S n
t r^ +…+c2t +G e Sit
(r-2)! 2 5
S i t
°e i
F-6)
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