专题02 函数图象中的面积计算问题几种常见面积的计算方法： 1. 三角形的一边在x 轴上时，S △ABC =12B AC x x y -⋅； 2. 三角形的一边在y 轴上时，S △ABC =12B AC y y x -⋅； 3. 割补法求解（1）三角形一个顶点在原点处，S △ABO =()12A B OE x x ⋅⋅+； S △ABO =()12A B OF y y ⋅⋅+.（2）割补法S △ABO =()12A B OC y y ⋅⋅-； S △ABO =()12B A OD x x ⋅⋅-.（3）补法求面积1. （2019·成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =+和2y x =-的图象交于点A ，反比例函数ky x=的图象经过点A . （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵一次函数152y x =+和2y x =-的图象交于点A ， ∴1522y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：24x y =-⎧⎨=⎩，即A (－2,4)，将点A (－2,4)代入ky x=中，得：k =－8， 故反比例函数的表达式为：8y x=-；（2）联立152y x =+，8y x=-得：12122841x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 即B (－8,1).过点B 作BC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ， ∴S △OAD =S △OBC ， ∴S △OAB =S 梯形ABCD ， =（BC +AD ）×CD ÷2 =（1+4）×6÷2=15.2.（2019·四川凉山州中考）如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝4x的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C.【解析】解：由反比例函数意义，可得：S △ABO =S △BOC =2， ∴S △ABC =4. 故答案为：C .3.（2019·四川南充中考）双曲线xky =（k 为常数，且0≠k ）与直线b x y +-=2交于),1(),2,21(n B m m A --两点.（1）求k 与b 的值；（2）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE 的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点1(,2)2A m m --在直线y =－2x +b 上， ∴12()22m b m --+=-，解得b =－2， ∴y =－2x －2，∵点B （1，n ）在直线y =－2x －2上， ∴n =－4， ∴B （1，－4），∵B （1，－4）在双曲线上， ∴k =－4.（2）直线y =－2x －2交x 轴于C （－1,0），交y 轴于D （0，－2）， ∴S △COD =1|2||1|21=-⨯-⨯ ∵点E 为CD 的中点，∴S △COE =12S △COD =12， ∵S △COB =1|1||4|22⨯-⨯-=.∴S △BOE =S △COB －S △COE =2－1322=.4.（2019·浙江宁波中考）如图，过原点的直线与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B 作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为．【答案】6.【解析】解：如图，连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠AEO，∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，∵AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8， ∴S △ACE ＝S △AOC ＝12， 设点A （m ，k m）， ∵AC ＝3DC ，DH ∥AF ， ∴3DH ＝AF ， ∴D （3m ，3k m）， ∵CH ∥GD ，AG ∥DH ， ∴△DHC ∽△AGD ， ∴S △HDC ＝14S △ADG ， ∵S △AOC ＝S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC＝12k +12（DH +AF ）×FH +S △HDC ＝12k +12×43k m ×2m +112243k m m ⨯⨯⨯ ＝12k +43k +16k ＝12， ∴2k ＝12，解得：k ＝6； 故答案为6.5.（2019·甘肃中考）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象相交于A （﹣1，n ）、B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积； （3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝mx上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵反比例函数y＝mx经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝2x-上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则：2 21k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：k=－1，b=1，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝2x -．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝12×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝2x-上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．6.（2019·甘肃兰州中考）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝kx（x>0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝___________.【答案】6．【解析】解：|k|＝S矩形OABC＝6，∵图象在第一象限，∴k>0， ∴k ＝6.7.（2019·甘肃兰州中考）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2，点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO.（1）求反比例函数y ＝kx（k ≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是，求点A 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵ OC ＝2, ∴OM ＝1, BM ＝3, ∴点B(－1 ，－3 )， ∴k ＝(－1)×（－3)＝3,∴y ＝x3. （2）∵S 四边形ACBO ＝33＝S △AOC + S △BOC∵S △BOC ＝43OC 2＝3, ∴S △AOC ＝23. ∵OC ＝2∴21×OC×AN＝，∴AN ＝，设A （x ，， ∴23x， ∴x ＝12， ∴A （21，23）. 8.（2019·山东聊城中考）如图，点A （32，4），B （3，m ）是直线AB 与反比例函数y ＝n x（x ＞0）图象的两个交点，AC ⊥x 轴，垂足为点C ，已知D （0，1），连接AD ，BD ，BC ．（1）求直线AB 的表达式；（2）△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1，S 2．求S 2﹣S 1．【答案】见解析． 【解析】解：（1）由点A （32，4），B （3，m ）在反比例函数y ＝nx 图象上， ∴n ＝6∴反比例函数的解析式为y ＝6x， 将点B （3，m ）代入y ＝6x，得m ＝2， 即：B （3，2）.设直线AB 的表达式为y ＝kx +b ，∴34232k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的表达式为y ＝43-x+6；（2）由点A 、B 坐标得AC ＝4，点B 到直线AC 的距离为3﹣32＝32，∴S1＝12×4×32＝3，设AB与y轴的交点为E， E（0，6），如下图，∴DE＝6﹣1＝5，∴S2＝S△BDE﹣S△ACD＝12×5×3﹣12×5×32＝154，∴S2﹣S1＝154﹣3＝34．9.（2019·四川遂宁中考）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中，得：a＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y=kx中得：k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝4x；（2）如图所示，设点P的坐标为（m，4m），则C（m，m﹣3）∴PC＝|4m﹣（m﹣3）|，∴△POC的面积＝12m×|4m﹣（m﹣3）|＝3，解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4，又∵m＞0，∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．10. （2019·江苏宿迁中考）如图，一次函数y＝kx＋b的图像与反比例函数y=5x-的图像相交于点A（-1，m）、B（n，-1）两点.（1）求一次函数表达式；（2）求AOB的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A（－1，m）、点B（n，－1）代入y=5x-得：m=5，n=5，即A(－1,5)，B（5，－1），将A(－1,5)，B（5，－1）代入y＝kx＋b得：551k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， 即一次函数解析式为：y=－x+4.（2）设直线AB 与x 轴交于点E ，可得E(4,0),∴S △AOB=()12A B OE y y ⨯-=1462⨯⨯=12. 11.（2019·湖北黄冈中考）如图，一直线经过原点O ，且与反比例函数k y x =（k>0）相交于点A 、点B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，连接BC. 若△ABC 面积为8，则k =____________.【答案】8.【解析】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于原点对称，∴OA ＝OB ，∴△BOC 的面积＝△AOC 的面积＝8÷2＝4，又∵A 是反比例函数k y x =图象上的点，且AC ⊥y 轴于点C ， ∴△AOC 的面积＝12|k |， ∴12|k |＝4， ∵k ＞0，∴k ＝8．故答案为8．。