cn1 n1(x)
Nn (x) c00 (x) c11(x) L cnn (x)
(4)
可以证明,这样选取的基函数是线性无关的,由此得
出的问题4.1的解便于求值,而且新增加一个节点 xn+1时
只需加一个新项 cn1n1(x) 即
Nn1(x) c00 (x) c11(x) L cnn (x) cn1 n1(x)
而
n1(x) (x xn )n (x)
依据条件(2),可以依次确定系数c0,c1,…,cn..例如,
取x=x0,,得 c0 Nn (x0 ) f (x0 )
取x=x1 ,得 Nn (x1) c0 c1(x1x0 ) f (x1)
c1
Nn (x1) c 0 x1 x0
f (x1) f (x0 ) x 1 x0
n+1个点上的n次插值多项式，对于这样的Q(x) ，有
Q(x1 ) c0 f1
Q(x2 ) c0 c1 (x2 x1 ) f 2
Q(xn ) c0 c1 (xn x1 ) cn1 (xn x1 )(xn x2 ) (xn xn1 ) f n
Q(xn1 ) c0 c1 (xn1 x1 ) cn (xn1 x1 )(xn1 x2 ) (xn1 xn )
二 差商的定义
给定[a,b]中互不相同的点x0,x1,x2,…,以及f(x)在这些点处相
应的函数值f(x0),f(x1),f(x2),…,用记号
f [x0 , x1]
f (x0 ) f (x1) x0 x1
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号
f [x0 , x1, x2 ]
f [x0 , x1] f [x1, x2 ] x0 x2
f
( (n1) x
(n 1)!
)
wn 1 ( x)
,
x (a,b)
n
Ln (x) f (xi )li (x)
i0
其中
l
i
(x)
(x x0 )L (x i x0 )L
(x (xi
xi 1 )( x xi 1 )( xi
xi1)L xi1)L
(x xn ) (xi xn )
,i =0,1,…,n
0(x) 1
i (x) (x xi1)i1(x)
(3)
(x x0 )(x x1)L (x xi1) , i 1, 2,L n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0 (x),1(x),L ,n (x) 称为Newton插值的以x0,,x1,…,xn为节点的基函数cn1n1(x) ,即
f n1
优点: 具有严格的规律性,便于记忆.
缺点: 不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求 和的项数,而且以前的各项也必须重新计算.
为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式— Newton插值公式.
本讲主要内容:
● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式
记
Nn(x)= f(x0)+(x-x0) f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2]
f[x,x0,…xn-1]= f[x0,…,xn]+(x-xn)f[x,x0,….,xn]
将以上各式，由下而上逐步代入，得到
f(x)= f(x0)+(x-x0) f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2]
+…+(x-x0)…(x-xn-1) f[x0,…,xn]
(5)
+(x-x0)…(x-xn-1)(x-xn)f[x,x0,…xn]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f [x0 , x1,L
, xk ]
f [x0 , x1,L
, xk1] f [x1, x2 ,L x0 xk
, xk ]
三 Newton插值公式
由差商定义,有
f(x)= f[x0]+(x-x0)f[x,x0] f[x,x0]= f[x0,x1]+(x-x1)f[x,x0,x1] f[x,x0,x1]= f[x0,x1,x2]+(x-x2)f[x,x0,x1,x2] ………..
取x=x2,得
Nn (x 2) c0 c1(x2 x0) c2(x2 x0)(x2 x1) f (x2)
c2
Nn (x2) c0 c1(x 2x0) (x2 x0)(x2 x1)
f (x2)
f
(x0)
f
(x1) x1
f (x0 x0
).(
x2
(x2 x0)(x2 x1)
第 五 章 插 值 法 与曲线拟合
插值法
上一讲的简单回顾
● 插值多项式的存在惟一性: 满足插值条件
Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,…,n)
n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn 存在而且惟一.
● 插值余项: Rn(x)= f(x)- Pn(x)= ● Lagrange插值多项式
称为Lagrange插值基函数
§1.3 牛顿途径
对于n+1个不同的节x1, x点2 , , xn1 虑n次多项式
，考
Q(x) c0 c1(x x1) c2 (x x1)(x x2 )
（6）
cn (x x1)(x x2 ) (x xn )
如果满足：Q(xi ) f (xi ) fi ,i 1,2,3, , n, n 1 ，那么它就是
一 基函数
问题1 求作n次多项式 Nn (x)
Nn (x) c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )(x x1) L
(1)
使满足
cn (x x0 )(x x1)(x x2 )L (x xn1)
Nn (x i ) f (xi ), i 0,1,L n
(2)
为了使 Nn (x) 的形式得到简化,引入如下记号
x0)
f (x2)
f (x1)
f
(x1) x1
f( x0
x0
)
(
x1
x0
)
f
(x1) ห้องสมุดไป่ตู้1
f( x0
x0
)
(
x2
x0)
(x2 x0)(x2 x1)
f
(x2) x2
f (x1) x1
f
(x1) x1
f( x0
x0
)
(x2 x0)
为了得到计算系数ci的一般方法,下面引进差商的概念.