航天器轨道动力学作业1151820220 刘一石1. 试计算地-月二体系统的质心位置和旋转周期，地心处对公共质心的向心加速度是多少？ 解：经过查书可得到，地球质量为：245.97610E M kg =⨯月球的质量为：227.34810M M kg =⨯地月平均距离为：384000R km =二体问题其质心在两个物体连起来线段的中间。

设其质心位置距离地球xkm ，则距离月球为()R x km -。

根据二体质心的定义可以有如下关系：()E M M x M R x =-带入已有条件()24225.976107.34810384000x x ⨯=⨯-可以解得4464.26x km = 379335.75R x km -=带入万有引力定律公式2E ME E GM M M a R =有：()1122522286.67384107.34810 3.32210/3.8410M E GM kg a m s R m --⨯⨯⨯===⨯⨯ 2. 如果地球自转 17 周/天，赤道上会发生什么现象？以1000/m s 垂直向上抛出一物体会怎样？ 解：若地球自转17周每天，赤道上物体的速度为172172 3.146378140==7881m /243600243600R v s π⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯赤道由于第一宇宙速度7.9/V km s ≈万有引力提供向心力和重力22GMm v m mg R R =+赤道赤道因此赤道上的重力加速度为2112422226.6738410 5.9761078810.0659/63781406378140GM v g kg s R R -⨯⨯⨯=-=-=赤道赤道 如果以1000/m s 抛出物体，则该物体的速度为7944.19/object v m s ==大于第一宇宙速度，因此将摆脱地球引力。

3. 绘出参数为70000a km =，0.9e =的绕地球椭圆轨道的真近角θ与速度v 、 真近角θ与径向速度V v 和真近角θ与水平速度H v 的关系曲线(1 周的) 解：由于真近角与位置矢量的关系为：()211cos a e r e ϕ-=+因此要求出真近角与速度的关系，相当于求位置矢径大小与速度的关系。

已知轨道半径70000a km =， 轨道离心率0.9e =。

因此轨道的能量方程：222v r aμμ-=- 因此，速度与矢量大小关系为：v =轨道角动量为h ==水平速度为h h v r=径向速度为v v =经过以上分析，利用MATLAB 作图可以得到图 1图 14.试求在轨道参数为a，e的椭圆轨道上，从短轴同一端出发的两个反方向运行的飞行器分别到达短轴另一端的时间。

解，根据定义（如图 2），短轴所对应的偏近点角为12E π=和232E π=，图 2根据平近点角的定义：sin M E e E =-所对应的平近点角分别为：12M e π=-和232M e π=+ 由1→2212M M e π-=+由2→12122M M e ππ-+=-因此：)122t e π==+)212t e π==-另解：由于开普勒第二定律可知，面积比等于时间比，因此他们的面积，因此有如下等式成立：122112122121t t T t S t S +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中2T =122abS bc π=-212abS bc π=+因此，解上述方程可以得到)122t e π==+)212t e π==-5. 试证明参数为a ，e 的椭圆轨道半径r 对真近角θ， 偏近角ψ， 时间t 的平均值r θ、r ψ、r t分别为b =，a ，()2122a e +解：（1） 轨道半径r 对真近角θ的关系如下()211cos a e r e θθ-=+因此轨道半径r 对真近角θ的平均值如下()222011cos r =22a e d r d e ππθθθθθππ-+=⎰⎰利用Mathematica 积分（程序如下）：Integrate[a (1−e^2)(1+e ∗Cos[x])⁄,{x,0,2∗Pi}](2∗Pi)⁄ 得到的结果为：r =)e b θ+== （2） 轨道半径r 对偏近角ψ的关系如下()1cos r a e ψψ=-因此轨道半径r 对偏近角ψ的平均值如下()2201cos r =22r d a e d ππψψθψψππ-=⎰⎰利用Mathematica 积分（程序如下）：Integrate[a(1−e ∗Cos[x]),{x,0,2∗Pi}](2∗Pi)⁄得到的结果为：r =a ψ（3） 轨道半径r 对偏近角t 的可以间接用偏近点角表示()1cos r a e ψψ=-由于0n =0sin n t e ψψ=-两端同时求导()0d 1cos d n t e ψψ=-轨道半径r 对偏近角t 的平均值如下200d (1cos )(1cos )d r =2Tr ta e e Tπψψψψψπ--=⎰⎰利用Mathematica 积分（程序如下）：Integrate[a ∗(1−e ∗Cos[x])∗(1−e ∗Cos[x]),{x,0,2∗Pi}](2∗Pi)⁄得到的结果为：()21r =22a e ψ+因此问题得证。

6. 从赤道上空向正北发射半径为N r 的圆轨道极轨卫星，考虑到地球自转(角速度ωe )的影响时，轨道倾角和偏心率有多大的偏差？ 解：半径为N r 的圆轨道，轨道的速度为ver N v v ==由于地球自转角速度的影响，产生水平分量的大小为para E N v r ω=⋅利用伽利略速度合成法则可知，轨道倾角因此减少90arctanarctanarctan para ver verpara E N v v i v v ∆=-===由于入轨时矢径与速度方向垂直，因此入轨点为轨道的近心点或远心点。

又由于此处相对于圆轨道速度增加，因此为轨道的近心点。

由于近心点速度变为p v ==利用近心点速度公式p v =反推出离心率表达式2232311N p E N E N r v r r e μωωμμμ⋅+⋅⋅=-=-=另解：离心率矢量公式为21()e v r μμ⎡⎤⎛⎫=--⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦r r v v由于入轨时矢径与速度方向垂直，因此 0⋅=r v带入速度与位置矢径可得到()2232111E N E N N NN r r v e r r r r r ωωμμμ⎛⎫⋅⎛⎫⋅=-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7. 某卫星在酒泉发射场(东经100，北纬41)上空400km 处以8.5/km s 的速度入轨(设入轨时刻：赤经=经度)，速度与当地水平面的夹角为5，方向为东偏北120。

试求卫星的轨道根数并画出该卫星前三周的星下点轨迹。

解：建立发射场坐标系Oxyz ，地心固连坐标系e e e e O x y z ，这两个坐标系的转换关系为：()()z yC C e e e e O x y z Oxyz θψ→−−−−−→其中θ代表经度（东经>0°, 西经<0°），ψ代表经度（北纬<0°,南纬>0°）。

在Oxyz 中，有[6771,0,0]'r km =[0.7408, 4.2338,7.3332]'/v km s =-通过坐标变换，换算到e e e e O x y z 中的位置速度向量。

利用MATLAB 计算（本题附），可以得到：[887.37,5032.5,4442.2]'r km =- [4.9078, 3.4521,6.0205]'/v km s =-再利用第九题程序，可以利用位置速度向量算出轨道六根数如下，半长轴长：8763a km =离心率：0.2426e =轨道倾角：112.17i=近地点角距：19.06ω=升交点赤经：120.75Ω=真近点角：26.05ϕ=因此可以求出轨道的周期为：228163.76T s π=== 利用开普勒方程，求三个周期内的的轨道六根数，再利用轨道六根数与星下点轨迹的坐标转换公式（未考虑地球自转时）：()()()arcsin sin sin i ϕωϕ=⋅+纬度()()()=arctan cos tan i λωϕ⋅++Ω000, 23=, 2, πλπωϕππλλππωϕλ⎧-<+<⎪⎪⎪+<+<⎨⎪⎪⎪⎩经度其他 这里的经度还要换算成(],ππ-的区间内，其过程省略，经换算后，东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负。

考虑自转只需要再用经度减去地球自转变化的经度即可。

利用MATLAB 可以求得星下点轨迹如图 3：图 3 本题用到的MATLAB程序：8. 地球卫星轨道参数如下：8000p r km =，18000a r km =，在近地点处施加一个与水平线夹角60、大小为2/km s 的速度脉冲，试求机动后新轨道长轴的转角大小和轨道的参数。

解：根据题意，8000p r km=18000a r km =因此轨道的半长轴长为：130002a pr r a km +==离心率为：50.384613a p a pr r e r r -==≈+ 利用能量方程：222v r aμμ-=- 可以得到：v =带入数据可以得到近心点速度为：8.306/p v km s === 由于与水平线夹角60的条件不唯一，因此分以下两种情况讨论：解1：（与轨道面夹角60）与第6题相同，机动后此处仍为新轨道的近地点。

根据伽利略速度合成法则，得到机动后平行方向速度矢量为1cos 8.30629.306/32new para p v v v km s π⎛⎫=+=+⨯= ⎪⎝⎭得到机动后垂直方向速度矢量为sin 2 1.732/3newver v v km s π⎛⎫=== ⎪⎝⎭轨道倾角的变化量为1.732arctan arctan 10.549.306new ver new para v i v ∆===轨道半长轴变化为11225229.306 1.732396688000 3.98610new pnew p v a km r μ--⎛⎫⎛⎫+=-=-≈ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭轨道离心率变化为8000110.798339668new p r e a=-=-=由于在近心点机动，新的轨道较原轨道相比，轨道的近地点角距，升焦点赤经，真近点角不发生变化。

解2：（与水平面夹角60）机动后轨道参数如下：8000p r km=9.4658/new v km s ===sin 60arcsin0.184newv rad v β==利用平面单脉冲机动公式：222sin cos tan cos 1rv rv ββμθβμ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭22222=1cos sin rv e ββμ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭22ra rv μ=-可以得到新参数的变换为：0.413023.66rad θ===0.8059e43.966710a km =⨯由于u 在同平面内轨道机动是不变量，因此ω较原来减少23.669. 已知某航天器在地心惯性坐标系中的位置和速度矢量分别为[3729.5,1644.6,5163.0]'r km =-，[2.1319,7.2964,3.8642]'/v km s =-，试计算该航天器的 6 个轨道根数。