G
n j 1
mj rj3i
(
ji )
ji
(2.13)
不失一般性，假定m2为一个绕地球运行的航天器，m1为地
球，而余下的 m3, m4,L mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，
得到
&rr& rr 1

G
n j2
mj rj31
(
j1 )
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。
第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
r Fg


GMm r2
rr
r
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
d dt
(mivri
)

r F总
(2.9) (2.10)
把对时间的导数展开，得到
mi
dvri
dt
vri
dmi dt

r F总
(2.11)
如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在
这种情况下，式(2.11)中的第二项就不等于零。某些与
相对论有关的效应也会导致质量 mi 随时间变化。式
(2.11)各项mi除以 mi ，就得出第 i个物体的一般运动方
的立方成正比。即 a3/T2=K
它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而 且周期仅取决于长半径。
图2．3表示3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都
相等，周期也就相同。
图2．3 开普勒第三定律
2.1.2 牛顿定律
第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运 动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状 态。
开普勒第二定律
式中， dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫 做面积速度。
为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的 路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行 的路程S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规 律，叫做面积速度守恒。
3．第三定律——周期律 行星绕太阳公转的周期T的平方与椭圆轨道的长半径a
第谷．布拉赫
约翰．开普勒
2.1.1 开普勒定律 1．第一定律——椭圆律
每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的 一个焦点上。 因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离 太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点， 如图2．1所示。
2．第二定律——面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的
图2.4中所示的其他外力 Fr其他，包括阻力、推力、太阳辐
射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i个物体
上的合力称为
v F总
，其表达式为
v vv
F总 Fg F其他
(2.8)
v vvv v F F F F F 其他 阻力 推力 太阳压力 干扰 L
现在应用牛顿第二运动定律
统如图2.4所示。
r
由牛顿万有引力定律得出，mn作用在 mi 上的力 Fgn
为
Fr rr gn
Gmimn rn3i
(
ni )
(2.5)
式中
rrni rri rrn
作用在第i个物体上的所有引力的矢量和
r Fg
为
r
n
Fg Gmi
j 1
ji
rr mj (
rji
ji )
(2.6) (2.7)
牛顿
2.1 航天器轨道的基本定律
如果说1642年的圣诞节迎来了理性的时代, 那么完 全是由于有两个人为大约50年后牛顿最伟大的发现奠定 了基础。一个是第谷·布拉赫, 他几十年如一日,极为细 致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是 约翰·开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭 示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用 肩膀托起牛顿的“巨人”。
面积。 在图所示中，S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到
t1,t2,t3,t4,t5,t6, 时刻的位置。如果从S1到S2的时间间 隔和S3到S4 ， S5到S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面 积S1OS2, S3OS4, S5OS6也都相等，可表示为
dA/dt=常量
开普勒第二定律
&rr& rr rr 21

G
n j1
mj r3
j2
(
j
2
)

G
n j2
mj r3
j1
(
j1 )
j2
因为
r r 12

，所以
21
&rr& rr rr rr 21


G(m1 r3
21
m2
)
(
21)
n
j
3
Gm
j
(
j2
r3 j2

rj1 3
)
程为
r
&rr&ii
(2.12)
方程式(2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程，这种
形式的微分方程是很难求解的。假定第i个物体的质量保
持不变（即无动力飞行，m&i =0），同时还假定阻力和其
他外力也不存在。这样，惟一存在的力为引力，于是方
程式(2.12)简化成
&rr& rr i
(2.14)
对i=2的情况，方程式(2.13)变成
&rr& rr 2

G
n j 1
mj rj32
(
j2)
j2
(2.15)
根据式(2.6)，有 于是有
rr21 rr1 rr2 &rr&21 &rr&1 &rr&2
(2.16) (2.17)
将式(2．14)和(2．15)代人式(2．17)得到
式中， Fg为由于质量引起的作用在质量m上的力矢量；
r为从到m的距离矢量。万有引力常数G的值为
G =6．670×10-13 N·cm2／g2。
2.2 二体轨道力学和运动方程
2.2.1 N体问题 为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，
在该坐标系内，n个质量的位置分别为 r1, r2,L , rn .此系