2018年11月25日星期日
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
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1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv

r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
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算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
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一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
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轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
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航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
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航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
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c
a
p a(1 e2 ) b 1 e2 c ae
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轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为 地球中心，xyz 指向三颗恒星。 设 me 为地球质量，m为航天器 质量，r为航天器的矢径。
Gme m r d2r ma m 2 F 2 dt r r

r3
[rr ] r r 2 r
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v h

r
3
[rr ] r r r
2
积分后为
e的方向
1

(v h
r
r 1 v h [ 2 r r ] 0 r r
？) e r
？
1 r e h (v h) h (r v ) 0 r
e的大小
e2 ee 1
2 Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e [0, 1)
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e
1

(v h
r
r
)
v r
E
S e
e的物理意义 两边叉乘r
动能 势能

r
2
r
r
r
r

r
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
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不同轨道的能量积分E
v2 E 2 r
v2 2 E r
双曲线 椭圆
2 r
（1）如果E>0，r可以为任何正值； （2）如果E<0，r必须满足 r

E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 v p
抛物线
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。 根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
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2、动量矩积分
d 2r r 3 2 dt r
0 方程两边叉乘 r： r v
两边叉乘 h r v
h v
r
r
3
h
r
r
3
(r v )
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h

r
3
[(r r )r (r r )r ]
rr 利用 r rv h 源自2018年11月25日星期日
x z
F r
y
S
E
O
d2r r 3 2 dt r
G 6.67 1011 m3 / kg s 2
万有引力常数
Gme 3.99 105 km3 / s 2 地心引力常数
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
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如果在直角坐标系中进行计算：
d2r r 3 2 dt r
x x 3 0 r y y 3 0 r z z 3 0 r
r x y z
2 2
2
如果给定初始条件：
0 , y 0 , z 0 x0 , y0 , z0 , x
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
v r
S
h
E
积分后为
r v h
2 h rer (r er reθ ) r
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明， r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
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3、拉普拉斯积分
d 2r r 3 2 dt r
er 1

(v h) r
er 0 可以看出，在一般情况下，
但如果r与v垂直，则 e r 0 所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
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思考
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η=1.0
η=1.5
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=2.5
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§1.3 航天器运动微分方程的积分
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运 动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。 直观想象： “保守力场” 引力的方向