2020届青海省西宁市城西区青海湟川中学上学期6月月考高三数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，若复数3()i a i -+（a R ∈）的实部与虚部相等，则a =（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】A【解析】根据实部和虚部定义构造方程即可求得结果. 【详解】()333i a i ai -+=-+Q 33a ∴-=，解得：1a =-本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数实部和虚部的定义，属于基础题.2．已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则a 的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．13D ．15【答案】A【解析】根据函数解析式求得定义域和()f x '，将函数在定义域上单调递增转化为2a x x ≥-+对()0,x ∈+∞恒成立，则()2max a x x ≥-+，根据二次函数性质求得函数最大值，从而得到结果.【详解】由题意知：函数定义域为()0,∞+，且()()22222x x a a f x x x x-+'=+-=()f x Q 在定义域上为单调递增函数 20x x a ∴-+≥对()0,x ∈+∞恒成立即：2a x x ≥-+对()0,x ∈+∞恒成立当12x =时，2x x -+取得最大值：111424-+=14a ∴≥，即a 的最小值为14本题正确选项：A 【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围问题，关键是能够将问题转化为恒成立问题，从而利用分离变量来将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.3．若复数（2+a i ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．2【答案】C【解析】运用复数的乘法原则，展开()22ai +，利用复数的概念，计算参数，即可。

【详解】∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数， ∴4a=0， 解得a=0． 故选：C ． 【点睛】本道题考查了复数的概念和四则运算，结合复数基本运算，展开所求式子，结合题意，即可。

4．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】不断的代入n 值，直到n=1,终止循环，输出i 值，即可得出答案。

运行该程序，注意到循环终止的条件，有n =10，i =1；n =5，i =2；n =16，i =3；n =8，i =4；n =4，i =5；n =2，i =6；n =1，i =7，到此循环终止，故选 A.【点睛】本道题考查了循环程序的判定，抓住终止条件，输出i 值，即可得出答案。

5．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =u u u ru u u r，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为等于到准线的距离，得002,45,45,PQ QM PQM PFO PF u u u r u u u u r=∴∠=∴∠=∴的倾斜角为，即斜率，01(2),20y x x y ∴-=-⨯-∴+-=，故选B ．【考点】抛物线的定义及性质．【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 6．复数121ii-+在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据复数除法运算法则化简复数，得到对应点的坐标，从而确定象限.()()()()121121313111222i i i i i i i i -----===--++- 对应的点的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限 本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数的除法运算和几何意义，属于基础题.7．已知,x y R ∈，且00y y y +≤-≥≥⎪⎩，则存在R θ∈，使得cos sin 10x y θθ++=成立的(),P x y 构成的区域面积为（ ） A．6πB．3πC ．2πD6π 【答案】A【解析】由目标函数作出可行域，根据xcos θysin θ10++=可得θθ1⎫⎪=-⎪⎭，由换元法令sin α=，则cos θ=可将存在θR ∈，使得xcos θysin θ10++=成立，转化为存在θR ∈，使得()sin αθ+=成立，进而可确定x ，y 所满足的平面区域，继而可求出结果. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB ， 若存在θR ∈，使得xcos θysin θ10++=成立，θθ1⎫⎪=-⎪⎭，令sin α=，则cos θ=则方程等价为()22x y sin αθ1++=-，即()22sin αθx y +=-+，Q 存在θR ∈，使得xcos θysin θ10++=成立，2211x y ∴-≤+，即22x y 1+≥，则对应的区域为单位圆的外部，由34330x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即()B 2,23，()A 4,0，则三角形OAB 的面积1S 423432=⨯⨯=，直线y 3x =的倾斜角为π3，则πAOB 3∠=，即扇形的面积为π6，则()P x,y 构成的区域面积为πS 436=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x ，y 所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.8．已知113z i =-，23z i =+，其中i 是虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．45C ．i -D ．45i 【答案】B【解析】由共轭复数定义求得1z ，根据复数除法运算求得复数，根据虚部的定义可得结果. 【详解】由题意得：113z i =+则()() ()()121331368343331055i iz i iiz i i i+-++====+++-12zz∴的虚部为：45本题正确选项：B【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及到共轭复数的概念、复数的除法运算，属于基础题.9．已知复数z满足()3425i z+=，则z=（）A．34i- B．34i+ C．34i-- D．34i-+【答案】A【解析】试题分析：解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i iz ii i i--====-++-，故选A.解法二：设(),z a bi a b R=+∈，则()()()()()3434344325i z i a bi a b a b i+=++=-++=，由复数相等得3425{430a ba b-=+=，解得3{4ab==-，因此34z i=-，故选A.【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.10．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据下面是圆台，上方是圆锥，可知应选A.11．已知M N、为抛物线24y x=上两个不同的点，F为抛物线的焦点．若线段MN的中点的纵坐标为2，||||10MF NF+=，则直线MN的方程为（）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】D【解析】根据抛物线焦半径公式可求得线段MN 的中点坐标，利用点差法可求得124MN k y y =+，从而可求得斜率，利用直线点斜式求得结果. 【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，则12210MF NF x x +=++=，解得：128x x +=∴线段MN 的中点坐标为：()4,2由2114y x =，2224y x =两式相减得：()()()1212124y y y y x x +-=-12121244122MN y y k x x y y -∴====-+⨯∴直线MN 的方程为24y x -=-，即：20x y --=本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用点差法求解直线方程的问题，关键是能够明确与弦中点有关的直线方程求解问题常采用点差法来进行求解.12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()420xf x x -=>，则(){}1|0x f x ->等于（ ）A ．{}3x x > B ．{}1|1x x <<﹣ C ．{|11x x <<﹣或}3x > D ．{}|1x x <- 【答案】C【解析】首先求出0x >时，()0f x >的解集；根据奇偶性得到0x <时()f x 的解析式，求出此时()0f x >的解集；验证出()00f =；综合可得()0f x >的解集；利用整体代换的方式求得()10f x ->时的解集，从而得到结果. 【详解】当0x >时，()240xf x =->，解得：2x >当0x <时，0x ->()f x Q 为奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()()()2442x x f x f x --∴=--=--=-由()0f x >，解得：20x -<< 当0x =时，()00f =综上所述：若()0f x >，则2x >或20x -<< 则由()10f x ->得：12x ->或210x -<-< 解得：3x >或11x -<<(){}{10|11x f x x x ∴-=<<﹣或}3x >本题正确选项：C 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出()0f x >的解集是解决本题的关键．二、填空题13．若,x y 满足约束条件21022020x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，3z x y m =++的最小值为1，则m =________．【答案】4【解析】由约束条件得到可行域，z 取最小值时3y x m z =--+在y 轴截距最小，通过直线平移可知过A 时，z 取最小值；求出A 点坐标，代入z 构造出方程求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：3z x y m =++取最小值时，即3y x m z =--+在y 轴截距最小平移直线3y x =-可知，当3y x m z =--+过A 点时，在y 轴截距最小由220210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得：()1,0A -min 301z m ∴=-++=，解得：4m =本题正确结果：4 【点睛】本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.14．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a =_______．【答案】5【解析】试题分析：2()323,(3)0,5f x x ax f a =++=''∴-∴=． 【考点】导数与极值．15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定(,)||A Bk k A B AB ϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()1122,,,A x y B x y 且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 【答案】②③【解析】对于①，由321y x x =-+得232y x x '=-， 故12|1,|8A x B x k y k y ====='='，又121,5y y ==，故AB ==∴(,)A B k k A B ABϕ-===< 对于②，常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，故②正确； 对于③，设()11,A x y ，()22,B x y ，又2y x '=，∴122(),A B k k x x AB -=-==1x x =-∴(,)2A B k k A B ABϕ-===≤，故③正确。