年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题及答案一. 填空题（本题共小题，每小题分，满分分. 把答案填在题中横线上. ）（）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = . 【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）. 【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。

(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)（）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰⎰.【详解】1120111)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰⎰.（）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解】在 232x z z e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数. 23(23)x z z z e x x-∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx z z e x e--∂=∂+,23213x zz y e -∂=∂+ 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解】令 23(,,)20x z F x y z e y z -=+-= 则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 2323232322(13)13x z x zx z x zF z e e x F x e e z----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x zx z z z e x y ee ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解】利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+- 2323(13)22x z x z e dz e dx dy --+=+232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x zz e x e --∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂（）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:12dy dx y x=积分得 1ln ln ln 2y x c =+ y ⇒=设(y c x =,代入方程得211(((22c x c x c x x x '= 从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211()55y x C x =+=1615x yC ==⇒=, 故所求通解为315y x =.【详解】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰11ln ln 22212x x ex edx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰6(1)15y C =⇒=, 从而所求的解为315y x =.（）设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵,则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E**⇔-=, (2)A E B A E *⇔-=,21A E B A E *∴-==, 221111010(1)(1)392100001B A E A A *====-⋅---. 【详解】由1A A A *-=,得11122ABA BA E AB A A B A A AA **---=+⇒=+ 2A A B A B A⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32AA EB A⇒-=21192B A A E∴==- 二. 选择题（本题共小题，每小题分，满分分. 每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（）,,.αβγ （）,,.αγβ（）,,.βαγ （）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】3020lim lim cos x x x t dtt dt γα++→→=⎰⎰32lim x +→= 320lim lim 02x x x x++→→===, 即o ()γα=.又 2000tan lim limxx x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（）. （）设()(1)f x x x =-, 则（）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点. 又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点. 所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（）.（）lim (1)n n→∞+等于（）221ln xdx ⎰. （）212ln xdx ⎰.（）212ln(1)x dx +⎰. （）221ln (1)x dx +⎰[]B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。

作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】 lim ln (1)n n→∞+ 212lim ln (1)(1)(1)nn nn n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212l i m l n (1)l n (1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11l i m 2l n (1)nn i i n n→∞==+∑ 12l n (1)x d x=+⎰ 2112l n x t t d t+=⎰212l n x d x =⎰ 故选（）.（）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（）()f x 在(0,)δ内单调增加. （）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x 在0x =附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00x f x f f x →-'=>-,由极限的性质, 0δ∃>, 使x δ<时, 有()(0)0f x f x-> 即0x δ>>时, ()(0)f x f >， 0x δ-<<时, ()(0)f x f <, 故选（）.（）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （）2sin y ax bx c A x *=+++.（）2cos y ax bx c A x *=+++ []A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 特征根为 i λ=±,对 2021(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因不是特征根, 从而其特解形式可设为21y a x b x c *=++xy对 sin ()ix m y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为2(s i n c o s )y x A x B x *=+ 从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(s i n c o s )y a x b x c x A x B x*=++++ （）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xydxdy ⎰⎰等于（）11()dx f xy dy -⎰⎰. （）202()dy f xy dx ⎰⎰.（）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,2()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰11()dx f xy dy -=⎰⎰故应排除（）、（）.在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰,故应选（）.（）设A 是阶方阵, 将A 的第列与第列交换得B , 再把B 的第列加到第列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100011001C B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,010100100011001001C A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪∴= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭011100001A AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,从而 011100001Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故选（）.（）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]A【分析】将A 写成行矩阵, 可讨论A 列向量组的线性相关性.将B 写成列矩阵, 可讨论B 行向量组的线性相关性.【详解】设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A = 0AB = ⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110m m n m n m b A b A b A b A =++++=（） 由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++=,于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B BB B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则0AB = ⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪==⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++=,从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（）.三. 解答题（本题共小题，满分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（）（本题满分分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 【详解】 原式2cos ln 331limx x x e x +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202c o s ln 3limx xx →+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 20l n 2c o s l n 3l i m x x x →+-=（）01s i n 2c o s l i m 2x x x x →⋅-+=（）011s i n 1l i m22c o s 6x x x x →=-⋅=-+ 【详解】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202c o s ln 3limx xx →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20c o s 1ln 3lim x x x →-+=（1）20c o s 11l i m 36x x x →-==-（）（本题满分分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数. (Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++. (Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++'===-. 令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-.即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.（）（本题满分分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (Ⅱ)求()f x 的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域. 【详解】 (Ⅰ) 32()sin x x f x t dt πππ+++=⎰,设t u π=+, 则有22()sin()sin ()x x x xf x u du u du f x ππππ+++=+==⎰⎰,故()f x 是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sin x 在(,)-∞+∞上连续且周期为π, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 因为()s i n ()s i n c o s s i n2f x x x x x π'=+-=-, 令()0f x '=, 得14x π=, 234x π=, 且344()s i n 24f t d t πππ==⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=⎰⎰⎰, 又 20(0)sin 1f t dt π==⎰, 32()(sin )1f t dt πππ=-=⎰,∴()f x的最小值是2,, 故()f x的值域是[2.（）（本题满分分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t 的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】 (Ⅰ)0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰ 2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰,()2()S t V t ∴=. (Ⅱ)22()2t t x te e F t y ππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭,20222()lim lim()2x x tt t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ 222l i m 222t t tt t tt e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭l i m 1t tt t t e e e e--→+∞+==- （）（本题满分分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. 【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证】设224()ln x x x e ϕ=-, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21ln ()2xx x ϕ-''=,所以当x e >时, ()0x ϕ''<, 故()x ϕ'单调减小, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e eϕϕ''>=-=, 即当2e x e <<时, ()x ϕ单调增加. 因此, 当2e a b e <<<时, ()()b a ϕϕ>, 即 222244ln ln b b a a e e->- 故 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证】设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=- 21l n ()2xx xϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e eϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=。