D
E
C
.O
2021/3/7
A
CHENLI
F
B 10
9、它图的中度正数六是边_形__A6_B_0C_度_D_E_;F的中心角是_∠__A_O__B_;
10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
2021/3/7
A
CHENLI
B
11
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ×）
同理∠Q=∠R=∠线S=的∠T交点为又顶∵五点边的形P多QR边ST的形各是边都这与个⊙O圆相切的，
外切正多边形. 2021/3/7 QR=RS=ST=TP=2PA
∴五CHE边NLI形PQRST的是⊙ O外切正五边形。6
二. 正多边形有关的概念
E
D
正多边形的中心:
一个正多边形的 外接圆的圆心.
F
.半径R
O
中心角
C
正多边形的半径:
边心距r
外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
2021/3/7
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.
CHENLI
7
1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__
圆与___内__切___圆的圆心。
A
2. OB叫正△ABC的_半__径__, 它是正△ABC的_外__接___圆
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
2021/3/7
CHENLI
16
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
F A
B
E
.. O
rR
D
PC
2021/3/7
CHENLI
17
由于ABCDEF是正六边形，所以F
它的中心角等于360 60，
6
A
22
四、正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
PA T
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
又∵A⌒B=⌒BC
∴AB=BC
B Q
C
E O
S
D R
∴△PAB与△QBC是全等
定理2： 的等腰三角形。
∴∠P=∠Q PQ经=2P过A 各分点作圆的切线，以相邻切
②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ×）
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。
A B
F E
C
D
2021/3/7
CHENLI
12
3.求证：正五边形的对角线相等。 A
已知：ABCDE是正五边形， 求证：DB=CE
B
E
证明： 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
C
D
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等。
2021/3/7
CHENLI
13
中心角 360
中心角E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOGBOG180 n
.. O R
AG
C a
B
设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.
边心距 r R2（ a） 2 ， 2
的半径。
3. OD叫作正△ABC边___心__距_,
它是正△ABC的_内__切___
圆的半径。
B
.O
D
C
4. ∠BOC是正△ABC的__中__心____角;
∠BOC=_1__2_0_度; ∠BOD=__6_0__度.
2021/3/7
CHENLI
8
4.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形 ABCD的 中心 .
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多CHE边NLI 形是正多边形
4
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
得到正多边形吗??
A
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A B
E
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3A⌒B
C
D
定理∴∴1∠∠：AA==把∠∠圆BB=分∠C成同=∠n理（D∠=nB∠≥=E∠3C）=等∠D份=∠：E
面积S 2021/3/7 1L•边心距r） （CHEN1LI na•边心距r） （
14
2
2
正n边形的一个内角的度数是（ __n____2_）_•_1__8_0;
360
n
中心角是____n_______;
正多边形的中心角与外角的大小关系是__相___等___.
2021/3/7
CHENLI
15
三、正多边形的有关计算
依又次∵顶连点结A各、B分、点C所、得D、的E多都边在⊙形O是上这个圆
的内∴五接边正形多A边BC形D.E是⊙O的 内接正五边形.
2021/3/7
CHENLI
5
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗??
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
叫做正n边形。 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
菱形, 矩形都
2021/3/7
不是正多边形 CHENLI
3
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗??
弧相等
2021/3/7
B
C
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在Rt OP中 C ， OC4，PCBC42 22
根据勾股定理，心可距 r得 边 4222 2 3
m 亭2021/3/子 7 的面 S积1Lr1CHENLI 242 341.6(
)2 18
5.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形
ABCD的 边心距 .
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
.O
2021/3/7
B
E
C
CHENLI
9
7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的_边__心__距___， 它是正五边形ABCDE的__内__切____圆的半径。
8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的__中__心___角， 它的度数是_7_2_度_____
24.3 正多边形和圆
E
A
D
B
C
2021/3/7
CHENLI
1
观察下列图形他们有什么特点？
2021/3/7
CHENLI
2
三条边相等，
四条边相等，
正三 三个角相等 角形 （60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形