tPp t tt t t x B x x B x Bx x ===---M221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。

3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分 记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：kt t t k x x x --=∇ 3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。

记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B 2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t nx x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B in i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分t p t p x B x )1(-=∇ 2、k 步差分tk k t t t k x B x x x )1(-=-=∇-3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex ts E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t πΛ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件： 条件一：≠p φ。

这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。

条件二：ts E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。

这个限制条件实际上是要求随机干扰序列}{t ε为零均值白噪声序列。

条件三：ts Ex t s π∀=,0ε。

这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。

通常把AR(p)模型简记为： tp t p t t t x x x x εφφφφ+++++=---Λ22110(3.5)当00=φ时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。

非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。

令μφφφφμ-=----=t t px y ,1210Λ则{t y }为{t x}的中心化序列。

AR(p)模型又可以记为：tt x B ε=Φ)(，其中pp B B B B φφφ----=ΦΛ2211)(称为p 阶自回归系数多项式二、AR 模型平稳性判断P45【例3.1】 考察如下四个AR 模型的平稳性：t t t x x ε+=-18.0)1(tt t x x ε+-=-11.1)2(t t t t xxx ε+-=--215.0)3( t t t t xxx ε++=--215.0)4( 拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳1、特征根判别任一个中心化AR(p)模型tt x B ε=Φ)(都可以视为一个非齐次线性差分方程。

tp t p t t t x x x x εφφφφ=-+------Λ22110则其齐次线性方程0)(=Φt x B 的特征方程为：2211=------p p p p xxx φφφΛ设pλλλ,,,21Λ为齐次线性方程)1()(221=----=Φt p p t x B B B x B φφφΛ的p 个特征根。

所以AR(p)模型平稳的充要条件是它的p 个特征根pλλλ,,,21Λ都在单位圆内。

同时等价于：AR 模型的自回归系数多项式的根，即0)(=Φu 的根，都在单位圆外。

证明：设pλλλ,,,21Λ为齐次线性方程)(=Φt x B 的p 个特征根，任取)2,1(,p i i Λ∈λ，带入特征方程：2211=------p p i p i p i φλφλφλΛ把i i u λ1=带入0)(=ΦB 中，有][11111)(2211221=----=----=Φ--p p ip ip i pipipiii u φλφλφλλλφλφλφΛΛ根据这个性质，)(B Φ可以因子分解成：∏=-=Φpi i B B 1)1()(λ，于是可以得到非其次线性方程tt x B ε=Φ)(的一个特解：tpi i ipi ittt Bk B B x ελλεε∑∏==-=-=Φ=111)1()(2、平稳域判别 使得特征方程22110=-+------p t p t t t x x x x φφφφΛ的所有特征根都在单位圆内的系数集合}|,,,{21特征根都在单位圆内p φφφΛ被称为AR(p)模型的平稳域。

(1)AR(1)模型的平稳域AR(1)模型为：tt t x x εφ+=-1，其特征方程为：0=-φλ，特征根为：φλ=。

则AR （1）模型平稳的充要条件是1<φ,则AR(1)模型的平稳域是}11{<<-φ (2)AR(2)模型的平稳域AR(2)模型为：tt t t x x x εφφ++=--2211。

其特征方程为：0212=--φλφλ，特征根为：24,242211222111φφφλφφφλ-+=++=。

则AR （2）模型平稳的充要条件是：1121<<λλ且，从而有：{121221φλλφλλ=+=⋅11,21<<λλ，且因此可以导出：1)1)(1(1)31)1)(1(1)21)12121211221212121212<++-=---=-<---=++-=+<=λλλλλλφφλλλλλλφφλλφ所以 AR(2)模型的平稳域：}1,1|,{21221<±<φφφφφ且【例3.1续】 分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR 模型的平稳性：tt t x x ε+=-18.0)1(tt t x x ε+-=-11.1)2(tt t t x x x ε+-=--215.0)3(tt t t x x x ε++=--215.0)4(其中),0(~}{2εδεWN t三、平稳AR 模型的统计性质 1、均值假如AR(p)满足了平稳性条件，于是 )(22110t p t p t t t x x x E Ex εφφφφ+++++=---Λ(3.12)由平稳序列均值为常数的性质得：)(T t Ex t ∈∀=μ，因为),0(~}{2εδεWN t，所以 (3.12)等价于μφφφ=----)1(21p Λpφφφφμ----=⇒Λ2101特别对于中心化AR(p)模型有0=t Ex 。

模型 特征根判别平稳域判别结论 1) 8.01=λ 8.0=φ平稳 2) 1.11-=λ 1.1-=φ非平稳 3) 21,2121ii -=+=λλ5.1,5.0,5.012212-=-=+=φφφφφ平稳4)231,23121-=+=λλ非平稳5.0,5.1,5.012212-=-=+=φφφφφ2、方差(1)Green 函数。

设pλλλ,,,21Λ为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成：∑∑∑∑∑∑∞=-∞==-=∞=====-=Φ=001101ˆ)(1)(j jt j j p i j t j i i p i j t ji i t pi i i tt G k B k B k B x εελελελε(3.13)其中∑===pi ji i j j k G 1),2,1(Λλ，系数），Λ2,1(=j G j 称为Green 函数。

记jpi j B G ∑==1G(B)，则(3.13)简记为：tG (B)ε=t x(3.14)再将(3.14)带入AR(p)模型tt x B ε=Φ)(中，得到tB εε=Φt G (B))(Green 函数的递推公式为：Λ,2,1,110='==∑=-j G G G jk k j kj φ其中{,,0='≤>k pk pk k φφ(2)平稳AR 模型的方差。

对平稳AR 模型tG (B)ε=t x 两边就方差，有∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=====02202)()()()(j j t j jj j t j j t jj t G Var G G Var B G Var x Var εσεεε由于∑∞=∞<02j jG，这说明平稳序列}{t x 方差有界，等于常数∑∞=022j jG εσ【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差。

AR(1)模型：∑∑∞=-∞===-=⇒=-010111)()1()1(j jt j t jj t t t t B B x x B εφεφφεεφGreen 函数为：),1,0(,1Λ==j G j j φ，所以平稳AR(1)模型的方差为：2120221021)()(φσσφεεε-===∑∑∞=∞=j j t j jt Var G x Var3、协方差函数在平稳模型tp t p t t t x x x x εφφφφ+++++=---Λ22110等号两边同时乘)1(≥∀-k x k t ，再求期望，得)()()()()(2211k t t k t p t p k t t k t t k t t x E x x E x x E x x E x x E --------++++=εφφφΛ又由1,0)(≥∀=-k x E k t t ε，)(k t t k x x E -=γ，可以得到自协方差函数的递推公式：pk p k k k ---+++=γφγφγφγΛ2211(3.17)【例3.3】求平稳AR(1)模型的自协方差函数。

平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：111γφγφγk k k ==-又由【例 3.2】知，21201φσγε-=，所以平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：1,12121≥∀-=k k k φσφγε【例3.4】求平稳AR(2)模型的自协方差函数。

求平稳AR(2)模型的自协方差函数的递推公式为：1,2211≥∀+=--k k k k γφγφγ，特别地，当k=1时，有12011γφγφγ+=，即01011γφφγ-=利用Green 函数可以推出AR(2)模型的协方差：22121220)1)(1)(1(1εσφφφφφφγ++--+-=所以平稳AR(2)模型的协方差函数的推导公式为：2,1)1)(1)(1(1221101122121220≥∀+=-=++--+-=--k k k kγφγφγγφφγσφφφφφφγε4、自相关系数(1)平稳AR 模型自相关系数的推导公式。