v1.0可编辑可修改函数单调性的判定方法学生：日期 ;课时：教师：1.判断具体函数单调性的方法定义法一般地，设 f 为定义在D上的函数。

若对任何x1、x2 D ，当 x1x2时，总有(1) f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f 为D上的增函数，特别当成立严格不等 f (x1 ) f ( x2 ) 时，称 f 为D上的严格增函数；(2) f (x1) f ( x2 ) ,则称 f 为D上的减函数，特别当成立严格不等式 f ( x1) f (x2 )时，称 f 为D上的严格减函数。

利用定义来证明函数y f ( x) 在给定区间 D 上的单调性的一般步骤：（ 1）设元，任取x1,x2 D 且 x1x2；（2）作差f (x1) f (x2)；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（ 4）断号（即判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 差与0的大小）；（ 5）定论（即指出函数 f (x)在给定的区间D上的单调性）。

例 1. 用定义证明)3f x x a a R,) 上是减函数。

(() 在(证明：设 x1,x2(,) ，且 x1x2，则f ( x1 ) f (x2 )x13 a ( x23a)x23x13( x2x1 )( x12x22x1 x2 ).由于 x12x22x1 x2(x1x2)23x220 ， x2x1024则 f (x1 ) f ( x2 )( x2x1 )( x12x22x1 x2 )0 ，即f ( x1) f ( x2 ) ，所以 f (x) 在,上是减函数。

v1.0可编辑可修改例 2. 用定义证明函数 f ( x)x k0)在 (0,) 上的单调性。

( kx证明：设 x1、 x2 (0,) ，且x1x2，则f ( x1 ) f (x2 )( x1k) ( x2k )(x1x2 ) (kk ) x1x2x1x2(x1x2 ) k( x2x1 ) ( x1x2 ) k(x1x2 ) ( x1x2)( x1 x2k) ，x1x2x1 x2x1 x2又 0 x1x2所以 x1x20 ， x1 x20 ，当 x1、x2(0,k ] 时x1x2k0 f ( x1 ) f (x2 )0 ，此时函数f ( x) 为减函数；当 x1、x2( k ,) 时x1x2k0 f ( x1 ) f ( x2 )0 ，此时函数 f (x) 为增函数。

综上函数 f ( x)x k(k0) 在区间(0,k ] 内为减函数；在区间 (k , ) 内为增函数。

x此题函数 f ( x) 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1 x2k 与0的大小关系 ( k0) 不是明确的，因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1 , x2当 x1x2时，容易得出 f ( x1 ) 与f( x2 ) 大小关系的函数。

在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。

函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。

对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一当 k0 时，y在R上是增函数；次函y kx b(k0)0 时，y在R上是减函数。

数当 kv1.0 可编辑可修改当 a 0 时， xb时 y 单调减 ,2ay ax2bx cb二x时 y 单调增；次2a函 (a 0, a, b, c R)0 时 ， xb 数当 a时 y 单 调 增 ，b 2ax时 y 单调减。

2a当 k0 时 , y 在 x0 时单调减，在 x反ky时单调减；比x例R 且 k 0 )当 k函 (k0 时 , y 在 x0 时单调增，在 x数时单调增。

当 a1 时， y 在 R 上是增函数；指 y ax数当 0a 1 ，时 y 在 R 上是减函数。

函数(a 0,a1)当 a1 时， y 在 (0,) 上是增函数；对 ylog a x数 当 0a 1 时， y 在 (0,) 上是减函数。

函数( a 0, a 1)一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：⑴． f (x) 与 f ( x) + C 单调性相同。

（ C 为常数）⑵．当 k0 时， f (x) 与 kf ( x) 具有相同的单调性；当 k 0 时， f (x) 与 kf (x) 具有相反的单调性。

⑶．当 f (x) 恒不等于零时，f ( x) 与1 具有相反的单调性。

f ( x)⑷．当 f (x) 、 g (x) 在 D 上都是增（减）函数时，则 f ( x) ＋ g( x) 在 D 上是增（减）函数。

⑸．当 f (x) 、 g (x) 在 D 上都是增 （减）函数且两者都恒大于 0 时， f (x) g(x) 在 D 上是增 （减）函数； 当 f (x) 、g (x) 在 D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0 时， f (x) g (x) 在 D 上是减（增）函数。

⑹．设 yf ( x) , x D 为严格增（减）函数，则f 必有反函数f 1 ，且 f1在其定义域 f (D ) 上也是严格增（减）函数。

v1.0 可编辑可修改例 3. 判断 f ( x)x x 3log 2 x 3 2 x 1 ( x 2 1) 5 的单调性。

解 : 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) ，由简单函数的单调性知在此定义域内x, x 3 , log 2 x 3 均为增函数，因为2x 10 , x 210 由性质⑸可得 2 x 1 ( x 2 1) 也是增函数；由单调函数的性质⑷知 x x 3 log 2 x 为增函数，再由性质⑴知函数 f ( x) x x 3 log 2 x 32x 1 ( x 2 1) +5 在 (0,) 为单调递增函数。

例 4. 设函数 f ( x)xa (ab 0)，判断 f ( x) 在其定义域上的单调性。

x bx a的定义域为 (, b)( b, ) .解 : 函数 f (x)bxx aa b先判断 f (x) 在 ( b,) 内的单调性， 由题可把，又 ab 0 故 ab 0 由f (x)转化为 f (x)1bxbx性质⑶可得1 为减函数； 由性质⑵可得ab为减函数； 再由性质⑴可得f ( x) 1ab在 ( b, ) 内是减函x bx bx b数。

同理可判断 f ( x) 在 (, b) 内也是减函数。

故函数f ( x)x a , b) ( b,) 内是减函数。

x在 (b函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。

图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。

根据单调函数的图像特征，若函数f ( x) 的图像在区间 I 上从左往右逐渐上升则函数f ( x) 在区间 I 上是增函数；若函数 f ( x) 图像在区间 I 上从左往右逐渐下降则函数f ( x) 在区间 I 上是减函数。

、例 5. 如图 1-1 是定义在闭区间 [-5,5] 上的函数 yf (x) 的图像，试判断其单调性。

解：由图像可知：函数 y f ( x) 的单调区间有 [-5,-2 ）， [-2,1 ）， [1,3 ）， [3,5 ） . 其中函数 y f ( x)在区间[-5,-2 ），[1,3 ）上的图像是从左往右逐渐下降的， 则函数 yf (x) 在区间 [-5,-2 ），[1,3 ）为减函数；函数 y f ( x)v1.0可编辑可修改例 6. 利用函数图像判断函数 f (x)x 1；g (x) 2x；h( x) 2x x 1在[-3,3]上的单调性。

分析：观察三个函数，易见h(x) f (x)g( x) ，作图一般步骤为列表、描点、作图。

首先作出f (x) x 1和 g (x) 2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h( x) 2 x x 1的图像，最后利用图像判断函数h( x) 2 x x 1的单调性。

解 : 作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数 f ( x) x 1 在闭区间[-3,3]上是单调增函数；g (x) 2x在闭区间[-3,3]上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出h( x) 2 x x 1在闭区间 [-3,3]上图像，即h(x) 2 x x 1在闭区间[-3,3]上是单调增函数。

事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。

用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。

对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。

而对于不易作图的函数就不太适用了。

但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。

复合函数单调性判断法定理 1：若函数y f (u) 在 U 内单调， u g(x) 在 X 内单调，且集合{u︳ u g(x) ， x X }U（ 1）若y f (u) 是增函数， u g( x) 是增（减）函数，则 y f [ g (x)] 是增（减）函数。

（2）若 y f (u) 是减函数， u g(x) 是增（减）函数，则 y f [ g( x)] 是减（增）函数。

归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）v1.0 可编辑可修改复合函数单调性的四种情形可列表如下：情形第①种情形 第②种情形 第③种情形 第④种情形函数单调性内层函数 ug( x)外层函数 yf (u)复合函数 yf [ g( x)]显然对于大于 2 次的复合函数此法也成立。

推论：若函数 yf ( x) 是 K(K ≥ 2), K N ) 个单调函数复合而成其中有 m K 个减函数：① 当 m 2k 1时，则 y f (x)是减函数 ；② 当 m 2k 时，则 yf ( x)是增函数 。

判断复合函数 yf [g (x)] 的单调性的一般步骤：⑴合理地分解成两个基本初等函数y f (u), ug ( x) ；⑵分别解出两个基本初等函数的定义域；⑶分别确定单调区间；⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则y f [ g( x)] 为增函数，若为一增一减，则y f [ g ( x)] 为减函数（同增异减） ；⑸求出相应区间的交集，既是复合函数y f [ g( x)] 的单调区间。

以上步骤可以用八个字简记“一分” ，“二求”，“三定”，“四交”。

利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。