3 2
的根的个数
x x
x1 x2
a 0时
x x x
x x x
x0
1个交点 2个交点 3个交点
有且只有 1个交点
探究二 三次方程根的问题 • 三次方程与三次函数有何关系？
• 只画x轴，画出有一根、两根、三根各种情 况图象大致形状，标注相应的a与△的取值 限制条件 • 由图像分析，探究a＜0时，三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，有一根、两根、三根的 问题，你有哪些方法？
若方程ax3 bx2 cx d 0,
a 0呢？
如 -x3+6x2-9x+10=0
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
x0
2： 已知函数 f ( x) x ax 3x, a R
3 2
（1）若 f (1) 0 ,关于 x 的方程 f ( x) k 恒有3个不等实根，求实数K的取值范围( 高考题节选)
分析：由 f 1 0 a 0
借助导数工具画原函数图像的大致形状，数形结
合得到K的取值范围
课堂练习:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象 / 如图所示 则f ( x ) 0的解集？
1 2
x
（-∞，1）∪（2，+∞）
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题； 3、思想方法：
2 2
a>0 Δ >0 Δ ≤0 Δ >0
a<0 Δ ≤0
x
x1 x2
x
x0
x x1 x2xx0(一) 三次函数的图像
f ( x) ax bx cx d的图象和性质
3 2
a 0时
f ( x) 3ax 2bx c
' 2
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
x2
三 次 函 数 的 图 象 和 性 质
Δ>0
图象
Δ≤0
x x
1
2
x1
x2
极值
单调 区间
极大值f(x1) 极小值f(x2) (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
无极值
x0
(-∞,+∞)
总结:
a 0时
Δ>0 Δ≤0
图象
x x
1
2
x1
x2
x0
极值 单调 区间
极小值f(x1) 极大值f(x2) (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
数形结合,函数与方程，
分类讨论，转化思想
作业：
1.设函数f（x）=x3-x2+（a+1)x+1，其中a为 实数 （Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求 a的 （Ⅱ）已知不等式f (x)>x2-x-a+1对任意a∈ （0，+∞）都成立，求实数x的取值范围。 2.a为何值时，方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、 两个实根、三个实根，有没有可能无实根？
f ( x) x 3x
3
f ( x) ax bx cx d的图象呢？
2
探究一：初识三次函数图象形状
• 观察几何画板中几个三次函数图象，思考下列问 题
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象
f ( x) 3ax 2bx c
' 2
4b -12ac 4(b -3ac)
三次函数图像与性质（1）
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>o
y
o x o
y
o x
a<0
0
y
y
x
图 象
0 0
o
y
x
y o x
o
x
讲授新课
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如y ax3 bx 2 cx d (a 0)
无极值 (-∞,+∞)
3+bx2+cx+d的 已知三次函数 f(x) ＝ ax 思考 导函数/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)
的图象最有可能的是
y
C
y y y
2
O
y
1
2
x
O x
1 2 x
O
1
2
x
O
1
2
x
O 1
A
B
C
D
探究二 三次方程根的问题
讨论方程ax bx cx d 0(a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f ( x) 3ax 2bx c
2
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
例1.画出下列函数草图
f ( x) x
3
f ( x) x 3 x
3
f ( x) x
3
3
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