学习资料分享[公司地址]突破4含指、对数式的复合函数问题【举一反三系列】【考查角度1奇偶性问题】方法导入一般利用奇偶性的定义进行判断.步骤第1步：求定义域，并判断定义域是否关于原点对称；第2步：验证f(-x)与f(x)的关系；第3步：得出结论.反思若定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数.【例1】（2018秋•和平区期中）设f（x ）＝判断函数f（x）的奇偶性.【分析】利用奇偶性定义判断；【答案】解：（1）根据题意，f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝＝f（x），则函数f（x）为偶函数；【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，关键是在掌握函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【练1.1】已知函数f（x）＝log2（），（b≠0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，构造不等式，对b值分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；（2）根据奇函数的定义，可判断出函数f（x）为奇函数，【答案】解：（1）当b＜0时，由＞0得：x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），当b＞0时，由＞0得：x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，又由f（﹣x）＝log2（）＝log2（）＝﹣log2（）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【练1.2】（2019春•福田区校级月考）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；【分析】（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x 的不等式组，解不等式组，即可得到答案．（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；【答案】解：（1）使解析式有意义的条件为，∴函数的定义域为x∈（﹣1，1）（4分）（2）函数的定义域关于原点对称，且，（6分）（7分）即f（﹣x）+f（x）＝0∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴f（x）为奇函数（8分）【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性和函数的奇偶性，是对数函数图象与性质的综合应用．【练1.3】（2019秋•保康县校级期中）已知函数f（x）＝lg（x+）﹣lg判断函数f（x）的奇偶性．【分析】注意到﹣x+＝，直接由奇偶性的定义判断即可．【答案】解：函数f （x ）的定义域为R ，∵f （﹣x ）＝lg （﹣x +）﹣lg＝lg ﹣lg＝lg ﹣lg （x +）＝﹣f （x ）∴f （x ）为奇函数；【点睛】本题考查复合函数的奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．【考查角度2单调性问题】方法导入复合函数单调性遵循“同增易减”的原则.步骤第1步：换元，将原函数拆分成两个函数；第2步：判断这两个函数的单调性；第3步：根据同增异减得到复合函数的单调性.反思注意优先考虑定义域，单调区间为定义域的子区间.【例2】（2019秋•工农区校级期中）已知函数y ＝（）x ﹣（）x +1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间．【分析】由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令t ＝，换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间；【答案】解：令t ＝，则y ＝t 2﹣t +1＝（t ﹣）2+当x ∈[1，2]时，t ＝是减函数，此时t ，在此区间上y ＝t 2﹣t +1是减函数当x∈[﹣3，1]时，t＝是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是增函数∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1]【点睛】本题考查指数函数单调性的运用，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是理解并掌握复合函数单调性的判断规则及复合函数值域求法步骤。

【练2.1】（2019秋•铜官山区校级期中）已知函数f（x）＝log4（2x+3﹣x2），求函数f（x）的单调区间.【分析】由f（x）＝log4（2x+3﹣x2），先求出其定义域，再利用复合函数的单调性的性质，能求出函数f（x）的单调区间【答案】解：由f（x）＝log4（2x+3﹣x2），得2x+3﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3，设t＝2x+3﹣x2，∵t＝2x+3﹣x2在（﹣1，1]上单调增，在[1，3）上单调减，而y＝log4t在R上单调增，∴函数f（x）的增区间为（﹣1，1]，减区间为[1，3）．【点睛】本题考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，注意换元法和配方法的合理运用【练2.2】（2019秋•西安区校级期末）已知f（x）＝log4（4x﹣1）．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的单调性；【分析】（1）根据4x﹣1＞0求解即可（2）利用单调性的定义判断即可【答案】解：（1）4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），（2）f（x）在（0，+∞）上单调增，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log4（4x1﹣1）﹣log4（4x2﹣1）＝log4又∵0＜x1＜x2，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1﹣1＜4x2﹣1∴0＜＜1，即log4＜0∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调增．【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．【练2.3】（2019秋•宝坻区期中）已知函数f（x）＝lg[（）x﹣2x]．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．【分析】（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，利用指数函数的单调性解出即可得出．（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．利用定义及其指数函数的单调性即可给出证明．【答案】解：（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，可得：﹣x＞x，∴x＜0．∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．（5分）（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．下面给出证明：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则x2﹣x1＞0令g（x）＝（）x﹣2x，则g（x2﹣g（x1）＝﹣﹣+）＝﹣+﹣＝＝∵0＜＜1，x1＜x2＜0，∴﹣＜0g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．（15分）【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的定义单调性及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【考查角度3单调性中的含参问题】【例3】（2019秋•黄陵县校级期中）已知函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）＝x2﹣ax+a，y＝g（x）是单调递减函数，由复合函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，只要g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且g（x）＞0在x∈（﹣∞，）上恒成立，由此能求出a的取值范围．【答案】（本小题满分12分）解：令g（x）＝x2﹣ax+a，∵0＜＜1，∴y＝g（x）是单调递减函数，而已知复合函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，∴只要g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且g（x）＞0在x∈（﹣∞，）上恒成立，即，∴2≤a≤2（+1），故所求a的取值范围是[2，2（+1）]．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．【练3.1】（2019春•大连校级月考）已知函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，求实数a的取值范围，并判断f（x）在x∈（﹣∞，1]上为是增函数还是减函数．【分析】由题意：函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，则x2﹣ax+在x∈（﹣∞，1]上必须大于0，即可求实数a的取值范围．根据复合函数的性质，同增异减，即可判断其单调性！【答案】解：由题意：函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，即：函数h（x）＝x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]有h（x）＞0恒成立．那么：，解得：2＜a＜3，所以实数a的取值范围是（2，3）．∵2＜a＜3，∴f（x）＝log a h（x）（h（x）＞0）在定义域内是增函数．h（x））＝x2﹣ax+在x∈（﹣∞，1]是减函数，根据复合函数的单调性“同增异减”，可得f（x）在x∈（﹣∞，1]上为是减函数．【点睛】本题考查了对数函数的性质的运算能力和复合函数的单调性“同增异减”的运用能力．属于中档题．【练3.2】（2019秋•长安区校级月考）已知函数f（x）＝lg（m x﹣2x）（0＜m＜1）,试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明．【分析】利用函数单调性判断即可【答案】解：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则△＝x2﹣x1＞0令g（x）＝m x﹣2x，则g（x2）﹣g（x1）＝m x2﹣2x2﹣m x1+2x1＝m x2﹣m x1+2x1﹣2x2∵0＜m＜1，x1＜x2＜0，∴m x2﹣m x1＜0，2x1﹣2x2＜0g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，∴△y＝lg（g（x2））﹣lg（g（x1））＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．【点睛】本题综合考查了函数的单调性，运用转化出不等式求解问题，属于中档题，但是难度不大．【练3.3】（2019秋•晋安区校级期末）已知函数f（x）＝log2（m+）（m∈R，且m＞0）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．【分析】（1）对数函数要有意义，必须真数大于0，即m+＞0，这是一个含有参数的不等式，故对m分情况进行讨论；（2）根据复合函数单调性的判断法则，因为y＝log2u是增函数，要使得若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数u＝m+在（4，+∞）上单调递增且恒正，据些找到m满足的不等式，解不等式即得m的范围．【答案】解：（1）由m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，∵m＞0，∴（x﹣1）（x﹣）＞0，若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；若＝1，即m＝1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；若＜1，即m＞1时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）＝m+在（4，+∞）上单调递增且恒正．所以，解得：．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．【考查角度4最值问题】方法导入通过换元转化为形式较为简单的函数（如二次函数或对数函数等），再求最值.第1步：换元，得到关于新元的较为简单的函数；步骤第2步：求关于新元的函数的最值。