江苏省2011年普通高校专转本统一考试试卷高等数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的指定位置上）1、当x→0时，函数f(x)=e-x-1是函数g(x)=x的。

A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶无穷小D、等价无穷小评析：本题是考查无穷小阶的比较，两个无穷小之间的关系通过作“商的极限”可以得出相x2x2x 2与函数g(x)为同阶无穷小，因此选C。

这种题型还是比较常见的，关键是掌握无穷小阶的比较的概念，即有三种关系：高阶、同阶（包括等价）、低阶。

h→0hA、-4B、-2C、2D、4评析：本题是一道经典的关于导数定义的考查题型，即通过导数的定义来构造极限。

h→0h h→0-2hf'(x0)=-2，因此选B。

3、若点(1,-2)是曲线y=ax-bx的拐点，则。

A、a=1,b=3B、a=-3,b=-1C、a=-1,b=-3D、a=4,b=6评析：本题间接地考查了导数的应用，即利用已知极值点或拐点的有关信息反求函数中的参数。

对于多项式函数y=ax-bx，显然满足二阶可导的，因此点(1,-2)一定是使得二阶导数等于零的点，因为y''=6ax-2b，所以y''(1)=6a-2b=0，又点(1,-2)本身也是曲线y=ax-bx2上的点，所以y(1)=a-b=-2，结合两个关于a,b的方程解得a=1,b=3，因此选A。

4、设z=f(x,y)为由方程z1 1 3-3yz+3x=8所确定的函数，则∂z∂y|x=0y=0=。

A、-2 B、2C、-2D、2x2 x xe-x-1e-1x 1应的关系，因为lim=lim=lim=（常数），所以当x→0时函数f(x)2f(x-h)-f(x+h)002、设函数f(x)在点x处可导，且lim=4，则f(x)=。

f(x-h)-f(x+h)f(x-h)-f(x+h)'32323评析：本题考查二元隐函数求偏导，利用的是构造三元函数F (x ,y ,z )=z2y3-3yz+3x-8，则F y =-3z，F z =3z -3y ，于是∂y=- z=- 3z 2 -3y=3z 2 -3y；把x=0,y=0代入到原方程中得z =2，所以 ∂z ∂y | x =0 y =0 = 3⋅2 3⋅2-3⋅0 = 12，因此选B 。

5、如果二重积分 ⎰⎰f(x , y )dxdy可化为二次积分 ⎰ 1dy⎰2f(x ,y )dx，则积分域 D 可表示为。

Dy +1A 、{(x ,y )|0 ≤x≤1,x -1≤y ≤1} B 、{(x ,y )|1≤x≤2,x -1≤y ≤1}C 、{(x ,y )|0≤x≤1,x-1≤y ≤0} D 、{(x ,y )|1≤x≤2,0≤y ≤x-1}评析：本题与以往我们平时做的关于交换二次积分次序有所不同，但实际上本质还是一样的， 因为如果我们要交换二次积分次序就必须要根据“四个上下限”画出积分区域D ，然后再交换所谓的积分次序，而本题考查的仅仅只是积分区域 D 的形式是什么样的。

根据已知二次⎰0 ⎰y +1从图上看，阴影部分即为{(x ,y )|1≤x≤2,0≤y≤x -1}，因此选 D 。

6、若函数 f(x ) =112+x1 的幂级数展开式为 f(x )= (-1) ∑ n =0a nx (-2 <x <2)，则系数a n(-1) =。

A 、 2nB 、2C 、2 nD 、∞2∞n评析：本题考查幂级数的展开式， y=2 1 2+x = 1 2 ⋅ 1 1+ x 2= 1 2 ∑ n =0 (-1) ( x 2 ) = ∑ n =0 (-1) 2x n，二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）x →∞x评析：本题考查幂指函数求极限，是历年来的重点考查内容，它是利用重要极限的推广公式，2FF1 2积分 dy f (x ,y )dx ，它是 Y-型的，画出积分区域 D如图n ∞nnn +1n +1 n (-1)所以a =，因此选D 。

n n +1 nn n +1x-27、已知lim( ) =e ，则k =。

因为lim( x →∞ x-2 x ) kx =lim(1- x →∞ x 22 x) kx =e x →∞ 2 x )⋅kx =e -2k ，所以e =e 2 ，即k =-1。

8、设函数Φ(x )= ⎰0 ln(1+t )dt ，则Φ(1)=。

''评析：本题考查变上限积分求导，也是历年来的考查重点，只是今年稍微有所不同，首先本 题求的是二阶导数，其次求的是具体点的导数值，Φ(x ) =ln(1+x ')⋅2x=2x ln(1+x )， 1+x1+x 9、若|a|=1,|b |=4,a ⋅b=2，则| a ⨯b|=。

|a ||b| 2310、设函数y=arctan x ，则dy |x =1=。

1+( x ) 2 x 2 x (1+x )4 4π2评析：本题考查定积分化简计算，即利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简定积分2 2 2n =0n+11n →∞1n +1n =0n+1 n =0n+11 1 1 lim(--2k 2 2 2 1 4xΦ''(x )=2[1⋅ln(1+x )+x ⋅⋅2x ]=2ln(1+x )+，所以Φ''(1)=2+2ln 2。

2 2a ⋅b 1a b评析：本题考查向量叉乘模的定义，由已知可得cos θ==，所以 与的夹角θ=，于是|a ⨯b |=|a ||b|sin θ=2 3。

'2 11 y '(1)=，即dy=dx 。

3 2 11、定积分 (x +1)sin xdx的值为。

⎰ ππππ1ππ 2 2 2 2计算。

(x+1)sin xdx =x sin xdx +sin xdx =2 sin xdx=2⋅⋅= ⎰⎰⎰⎰ 2 2 2nx 12、幂级数 的收敛域为。

n +2 ρ=lim =1R=1n n x (-1) 当 时， =（收敛-莱布尼茨判别法）； ∑∑当x=1时，∑n =0 x n +1 [-1,1)= ∑ n =0 1n+1 （发散-P 级数）；综上，收敛域为 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）ln(1+x )评析：本题考查极限计算的罗比达法则和等价无穷小替换方法x 2xx →0 xx →0 1⎩评析：本题考查参数方程求导，不过有一点与以往此类题型不同，那就是 y关于t是一个隐dtdt dt dtdy 2tdt e +1 dx 2t +1 (e +1)(2t+1)dtx评析：本题是考查原函数的概念，并计算不定积分由已知可得 f '(x )=(xsinx )'=2x sin x +x cos x，所以x x⎰⎰⎰⎰=-2cosx +x sin x +cos x +C =-cos x+x sin x +C1+x+1∞n ∞ x -x 2 (e -e )13、求极限lim 。

2 x -x 2 x-x x-x (e -e ) 2(e-e )(e+e )原式=lim =lim 2x-x x -xe-e e +e =2lim=2lim =42⎧14、设函数y=y (x )由参数方程 所确定，求 。

y 2 dxdy函数方程，需要通过隐函数求导的方法来求出。

dx dydy 由已知可得 =2t+1；对方程e +y =t两边同时关于 t 求导得e +=2t，解得y dt e +1 =，所以 ===yy f(x )15、设 f(x )的一个原函数为xsin x ，求不定积分 dx。

⎰222 f(x )2x sin x +xcos xdx =dx =(2sinx +x cos x )dx⎰⎰⎰=2sin xdx+x cos xdx=-2cosx +xd (sin x ) =-2cos x+x sinx -sin xdx316、计算定积分 dx。

⎰评析：本题考查换元法求定积分令 x +1=t，则 x =t -1，dx =2tdt ，当 x=0 时t =1，当 x =3时 t =2，代入得1+x +1 1+t 332 3 1评析：本题考查平面的方程，可以利用点法式或一般式这里我们利用平面方程的一般式，设所求平面方程为Ax +By +Cz+D =0，因为该平面经过x 轴，所以必有 A =D =0 ，即此时所求平面为 By+Cz =0；又该平面经过已知直2 3 13B+C =0，得C =-3B ，代入所求平面方程得 By-3Bz =0，即 y-3z =0。

x ∂x ∂y评析：本题考查多元抽象复合函数求偏导∂xx x∂x ∂y x x xxx x xx x⎰⎰ D平面闭区域。

评析：本题考查二重积分计算，并利用极坐标变换D3 2 32 320、已知函数 y =(x +1)e 是一阶线性微分方程y +2y =f(x )的解，求二阶常系数线性微分方程y +3y +2y =f(x )的通解。

2 2 2 2 2 22 32 2 23 2 2 dx=2tdt =(2t -2t )dt =( t -t ) = ⎰⎰⎰x y z17、求通过x轴与直线 ==的平面方程。

x y z线 ==，所以所求平面的法向量(0,B ,C )与已知直线的方向向量 (2,3,1)垂直，即 2 y ∂z18、设z =xf ( ,y )，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 。

∂z yy ''' 1 2 12 ∂z 1 1 1''''''' 12 11112 1 1y y yy '''''''''''' 1 211112 211 12 2 19、计算二重积分 ydxdy，其中 D是由曲线 y=2-x ，直线 y =-x 及 y轴所围成的3π3π2 2 2ydxdy =d θr sin θdr =sin θ( )d θ ⎰⎰⎰⎰⎰33π3π 44 =sin θd θ=(-cos θ)= πx '" '评析：本题考查二阶常系数线性微分方程，不过必须先求出 f(x )的表达式才行进行求解由已知可得 f(x )=e "'x +(x+1)e x x+2(x +1)e x =(3x+4)e x ，于是所求二阶常系数线性微分方程为y +3y +2y =(3x+4)e2先求特征方程得r -x+3r+2=0，得特征根为r 1 -2x=-1,r 2 =-2，所以原方程对于齐次方程的通解为Y =C 1ey =(Ax +B )e x +C 2e，则y *' ；又λ=1不是特征根，所以原方程的一个特解形式为=(Ax+A +B )e ， y =(Ax+2A +B )e ，代入原方程得(Ax +2A +B )e x +3(Ax+A +B )e x +2(Ax+B )e x =(3x +4)e x ，化简得6Ax +5A +6B =3x+4，由待定系数法得⎩5A +6B =4 24综上所求方程的通解为y =C 1e +C 2e +(1 2x + 1 4 )ex四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21、证明：方程x ln(1+x )=2有且仅有一个小于 2的正实根。