专题十一 电磁感应中的电路和图象问题突破电磁感应中的电路问题1.对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等，这种电源将其他形式的能转化为电能.2.对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成.3.问题分类(1)确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电容器极板的带电性质等问题. (2)根据闭合电路求解电路中的总电阻、路端电压、电功率等问题. (3)根据电磁感应的平均感应电动势求解电路中通过的电荷量.考向1 电动势与路端电压的计算[典例1] 如图所示，竖直平面内有一金属环，其半径为a ，总电阻为2r (金属环粗细均匀)，磁感应强度大小为B 0的匀强磁场垂直穿过环平面，环的最高点A 处用铰链连接长度为2a 、电阻为r 的导体棒AB ，AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则此时A 、B 两端的电压大小为( )A.13B 0av B.16B 0av C.23B 0av D.B 0av[解题指导] 当AB 棒摆到竖直位置时，画出等效电路图，明确A 、B 两端电压是路端电压而不是电源电动势.[解析] 棒摆到竖直位置时整根棒处在匀强磁场中，切割磁感线的长度为2a ，导体棒切割磁感线产生的感应电动势E ＝B 0·2a ·v ，而v ＝v A ＋v B2，得E ＝B 0·2a ·0＋v2＝B 0av .外电路的总电阻R ＝r ·r r ＋r ＝r 2，根据闭合电路欧姆定律I ＝E R ＋r ，得总电流I ＝2B 0av3r.A 、B 两端的电压大小U ＝IR ＝2B 0av 3r ·r 2＝13B 0av ，选项A 正确.[答案] A[变式1] (2017·山东潍坊统考)(多选)在如图甲所示的电路中，电阻R 1＝R 2＝2R ，圆形金属线圈半径为r 1，线圈导线的电阻为R ，半径为r 2(r 2<r 1)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t 0和B 0，其余导线的电阻不计.闭合S ，至t 1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是( )甲 乙 A.电容器上极板带正电 B.电容器下极板带正电C.线圈两端的电压为B 0πr 21t 0D.线圈两端的电压为4B 0πr 225t 0答案：BD 解析：由楞次定律知圆形金属线圈内的感应电流方向为顺时针方向，金属线圈相当于电源，电源内部的电流从负极流向正极，则电容器的下极板带正电，上极板带负电，A 错，B 对.由法拉第电磁感应定律知感应电动势为E ＝ΔΦΔt ＝ΔB Δt S ＝B 0t 0×πr 22，由闭合电路欧姆定律得感应电流为I ＝E R ＋R 1＋R 2，所以线圈两端的电压U ＝I (R 1＋R 2)＝4B 0πr 225t 0，C 错，D 对.考向2 电功、电热和电量的计算[典例2] (2015·福建卷)如图所示，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd ，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B 中.一接入电路电阻为R 的导体棒PQ ，在水平拉力作用下沿ab 、dc 以速度v 匀速滑动，滑动过程PQ 始终与ab 垂直，且与线框接触良好，不计摩擦.在PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中( )A.PQ 中电流先增大后减小B.PQ 两端电压先减小后增大C.PQ 上拉力的功率先减小后增大D.线框消耗的电功率先减小后增大[问题探究] (1)运动过程中，外电路电阻如何变化？(2)闭合电路中，内、外电阻符合什么条件时，外电路的功率最大？ [提示] (1)外电路电阻先增大，后减小.(2)当内、外电路电阻相等时，输出电功率最大，即外电路功率最大.[解析] 由题意知，题目情形可等效为如图所示的电路问题，其中R 左＋R 右＝3R ，E ＝BLv ，r ＝R ，当PQ 向右运动时，R 左增大，R 右减小，两者并联的总电阻R 外先增大后减小，当PQ 运动到线框正中央位置时，R 外最大，故流过PQ 的电流先减小后增大，A 项错误；PQ 两端电压U ＝E －Ir ，故U 的变化为先增大后减小，B 项错误；拉力的功率P ＝P 总＝EI ，故拉力的功率先减小后增大，C 项正确；线框消耗的电功率为电源的输出功率P 出＝P 总－P 内＝EI －I 2r ，电流的最小值I min ＝E1.75R，故由数学知识可知P 出先增大后减小，D 项错误.[答案] C[变式2] 如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd ，ab 边长大于bc 边长，置于垂直纸面向里、边界为MN 的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN .第一次ab 边平行MN 进入磁场，线框上产生的热量为Q 1，通过线框导体横截面的电荷量为q 1；第二次bc 边平行MN 进入磁场，线框上产生的热量为Q 2，通过线框导体横截面的电荷量为q 2，则( )A.Q 1>Q 2，q 1＝q 2B.Q 1>Q 2，q 1>q 2C.Q 1＝Q 2，q 1＝q 2D.Q 1＝Q 2，q 1>q 2答案：A 解析：设线框边长分别为l 1、l 2，线框中产生的热量Q ＝I 2Rt ＝(Bl 1v R )2·R ·l 2v＝B 2l 21l 2vR ＝B 2l 1l 2v R l 1，由于l ab >l bc ，所以Q 1>Q 2.通过线框导体横截面的电荷量q ＝I ·Δt ＝E R·Δt ＝ΔΦR ＝Bl 1l 2R，故q 1＝q 2，A 选项正确.解决电磁感应中的电路问题的基本步骤(1)“源”的分析：用法拉第电磁感应定律算出E 的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向(感应电流方向是电源内部电流的方向)，从而确定电源正负极，明确内阻r .(2)“路”的分析：根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路.(3)根据E ＝BLv 或E ＝n ΔΦΔt，结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识、电功率、焦耳定律等相关关系式联立求解.突破电磁感应中的图象问题1.图象问题(1)图象问题的特点考查方式比较灵活，有时根据电磁感应现象发生的过程，确定图象的正确与否，有时根据不同的图象，进行综合计算.(2)图象问题的求解类型考向1 根据图象分析判断电磁感应过程[典例3] (多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m 2，线圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I 的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示.磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所示.则以下说法正确的是( )甲 乙A.在时间0～2 s 内，I 的最大值为0.01 AB.在时间3～5 s 内，I 的大小越来越小C.前2 s 内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01 CD.第3 s 内，线圈的发热功率最大[解析] 0～2 s 内，t ＝0时刻磁感应强度变化率最大，电流最大，I ＝E R ＝ΔB ·SΔtR＝0.01A ，A 正确；3～5 s 内电流大小不变，B 错误；前2 s 内通过线圈的电荷量q ＝ΔΦR ＝ΔB ·SR＝0.01 C ，C 正确；第3 s 内感应电流为零，D 错误.[答案] AC考向2 根据电磁感应过程选择图象[典例4] (2016·四川卷)(多选)如图所示，电阻不计、间距为l 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R .质量为m 、电阻为r 的金属棒MN 置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F 的作用由静止开始运动，外力F 与金属棒速度v 的关系是F ＝F 0＋kv (F 0、k 是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好.金属棒中感应电流为i ，受到的安培力大小为F A ，电阻R 两端的电压为U R ，感应电流的功率为P ，它们随时间t 变化的图象可能正确的有( )A BC D[解题指导] (1)图线反映的关系都是瞬时关系，所以电流、电压、功率都是瞬时值.(2)根据受力情况列出方程，再根据k 的可能取值范围，分析金属棒可能的运动情况，进而分析求解.[解析] 设某时刻金属棒的速度为v ，根据牛顿第二定律F －F A ＝ma ，即F 0＋kv －B 2l 2v R ＋r ＝ma ，即F 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －B 2l 2R ＋r v ＝ma ，如果k >B 2l 2R ＋r ，则加速度与速度成线性关系，且随着速度增大，加速度越来越大，即金属棒运动的v ­t 图象的切线斜率越来越大，由于F A ＝B 2l 2v R ＋r，F A ­t图象的切线斜率也越来越大，感应电流⎝⎛⎭⎪⎫i ＝Blv R ＋r 、电阻两端的电压⎝ ⎛⎭⎪⎫U R ＝BlRv R ＋r 及感应电流的功率⎝ ⎛⎭⎪⎫P ＝B 2l 2v 2R ＋r 也会随时间变化得越来越快，B 项正确；如果k ＝B 2l 2R ＋r，则金属棒做匀加速直线运动，电动势随时间均匀增大，感应电流、电阻两端的电压、安培力均随时间均匀增大，感应电流的功率与时间的二次方成正比，没有选项符合；如果k <B 2l 2R ＋r，则金属棒做加速度越来越小的加速运动，感应电流、电阻两端的电压、安培力均增加得越来越慢，最后恒定，感应电流的功率最后也恒定，C 项正确.[答案] BC考向3 由电磁感应过程判断或画出图象[典例5] (2017·福建模拟)在一周期性变化的匀强磁场中有一圆形闭合线圈，线圈平面与磁场垂直，如图甲所示，规定图中磁场方向为正.已知线圈的半径为r 、匝数为N ，总电阻为R ，磁感应强度的最大值为B 0，变化周期为T ，磁感应强度按图乙所示规律变化，求：甲 乙丙(1)在0～16T 内线圈产生的感应电流的大小I 1；(2)规定甲图中感应电流的方向为正方向，在图丙中画出一个周期内的i ­t 图象，已知图中I 0＝3πr 2NB 0RT；(3)在一个周期T 内线圈产生的电热Q .[解题指导] 本题的关键是画出一个周期内的i­t图象.由B­t图象，把一个周期分成0～T 6、T6～56T和56T～T三段时间分别计算电流的大小，并判断电流的方向.[解析] (1)在0～16T内感应电动势E1＝NΔΦ1Δt1磁通量的变化ΔΦ1＝B0πr2解得E1＝6πNr2B0T线圈中感应电流大小I1＝E1R＝6πNr2B0RT.(2)如图所示.(3)在0～16T和56T～T两个时间段内产生的热量相同，有Q1＝Q3＝I21R·16T 在16T～56T时间内产生的热量Q2＝I22R·46T一个周期内产生的总热量Q＝Q1＋Q2＋Q3＝18π2N2r4B20RT.[答案] (1)6πNr2B0RT(2)见解析图(3)18π2N2r4B20RT电磁感应中图象类选择题的两种常见解法(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项.(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象作出分析和判断，这未必是最简洁的方法，但却是最有效的方法.1.[对电动势与路端电压的理解]粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a、b两点间的电势差绝对值最大的是( )A B C D答案：B 解析：线框各边电阻相等，切割磁感线的那个边为电源，电动势相同，均为Blv .在A 、C 、D 中，U ab ＝14Blv ，B 中，U ab ＝34Blv ，选项B 正确.2.[根据电磁感应过程选择图象]如图所示，一直角三角形金属框，向左匀速地穿过一个方向垂直于纸面向内的匀强磁场区域，磁场仅限于虚线边界所围的区域，该区域的形状与金属框完全相同，且金属框的下边与磁场区域的下边在一直线上.若取顺时针方向为电流的正方向，则金属框穿过磁场的过程中感应电流i 随时间t 变化的图象是( )A B C D答案：C 解析：根据楞次定律可以判断出金属框进入磁场过程中感应电流的方向，根据金属框切割磁感线的有效长度在变化，可知感应电动势以及感应电流的大小也在变化.在金属框进入磁场过程中，感应电流的方向为逆时针，金属框切割磁感线的有效长度线性增大，排除A 、B ；在金属框出磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，金属框切割磁感线的有效长度线性减小，排除D ，故C 正确.3.[根据图象分析电磁感应过程](多选)如图所示，螺线管匝数n ＝1 000匝，横截面积S ＝10 cm 2，螺线管导线电阻r ＝1 Ω，电阻R ＝4 Ω，磁感应强度B 的B ­t 图象如图乙所示(以向右为正方向)，下列说法正确的是( )甲 乙 A.通过电阻R 的电流是交变电流 B.感应电流的大小保持不变 C.电阻R 两端的电压为6 V D.C 点的电势为4.8 V答案：AB 解析：由E ＝n ΔB ·SΔt ＝6 V ，一个周期的时间内，前半个周期与后半个周期的电动势(电流)大小相等、方向相反，所以通过R 的电流是交变电流，选项A 、B 正确；电阻R 上的电压U R ＝ER ＋rR ＝4.8 V ，选项C 错误；0～1 s 内C 点比A 点电势高，C 点的电势为4.8 V,1～2 s 内，C 点比A 点电势低，C 点的电势为 －4.8 V ，选项D 错误.4.[根据电磁感应过程选择图象](多选)如图所示，两根相距为L 的平行直导轨水平放置，R 为固定电阻，导轨电阻不计.电阻阻值也为R 的金属杆MN 垂直于导轨放置，杆与导轨之间有摩擦，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B .t ＝0时刻对金属杆施加一水平外力F ，使金属杆从静止开始做匀加速直线运动.下列关于外力F 、通过R 的电流i 、摩擦生热Q (图C 为抛物线)、外力F 的功率P 随时间t 变化的图象中正确的是( )A B C D答案：BC 解析：金属杆从静止开始做匀加速直线运动，速度v ＝at ，金属杆切割磁感线产生的感应电动势E ＝BLv ＝BLat ，感应电流i ＝E 2R ＝BLat 2R，电流与时间成正比，选项B 正确.金属杆受的安培力F 安＝BIL ＝B 2L 2at2R ，根据牛顿第二定律有F －F 安－f ＝ma ，则有F ＝F 安＋f ＋ma ＝B 2L 2at 2R ＋f ＋ma ，外力F 随时间逐渐增大，选项A 错误.摩擦生热Q ＝fs ＝f ×12at 2，与时间的平方成正比，选项C 正确.外力F 的功率P ＝Fv ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2L 2at 2R ＋f ＋ma at ，不是一次函数，所以图象不是直线，选项D 错误.5.[电磁感应与电路的计算]面积S ＝0.2 m 2、n ＝100匝的圆形线圈，处在如图所示的匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈所在平面，磁感应强度B 随时间t 变化的规律是B ＝0.02t (T).电阻R 与电容器C 并联后接在线圈两端，电阻R ＝3 Ω，电容C ＝30 μF ，线圈电阻r ＝1 Ω，求：(1)通过R 的电流的大小和方向； (2)电容器所带的电荷量.答案：(1)0.1 A ，方向b →R →a (2)9×10－6C解析：(1)通过圆形线圈的磁通量Φ变大，由楞次定律和安培定则知，线圈中感应电流的方向为逆时针，所以通过R 的电流方向为由b 到a .由法拉第电磁感应定律，线圈产生的感应电动势为E ＝n ΔΦΔt ＝nS ΔB Δt＝100×0.2×0.02 V＝0.4 V由闭合电路欧姆定律，通过R 的电流为I ＝E R ＋r ＝0.43＋1A ＝0.1 A. (2)电容器两端的电压等于电阻R 两端的电压，即U C ＝U R ＝IR ＝0.1×3 V＝0.3 V 电容器所带的电荷量为Q ＝CU C ＝30×10－6×0.3 C ＝9×10－6 C.。