4. 设 总 体 X ~ P() ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1,K , X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
为 ˆ X ，极大似然估计为 ˆ X
。
2
二、计算题
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3 . 如果取得样本观测值为 x1 , x2 , , xn , 求
的矩估计值与最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E( X 2 ) 1
x
x2e dx 1
x
x2e dx
2
0
2
x
2
e
x
d
x
0
2 (3)
2 2
令
E(X 2)
1 n
n i 1
X
2 i
2 2
参数θ的矩估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi2
11
(2)最大似然估计法
3 n
n i 1
xi2
4X2
bˆ
3 n
n i 1
xi2
4X
2
8
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
Q E( x) 1 x x1dx
2. 若未知参数 的估计量是$，若 E(ˆ )
i 1
称$是 的无偏估计量。设$1,$2 是未知参数 的两个
无偏估计量，若 D(ˆ 1 ) D(ˆ 2 ) 则称$1 较$2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是
总体均值E(X )
是 总体方差D( X ) 的无偏估计量。
的无偏估计量。样本方差 S 2
0
是已知常数，
试根据来自总体
X
的简单随机样本
X1, X 2 ,
X n ，求
的
最大
似然估
计量
^
解：最大似然估计法
n
n
似然函数 L( )
ax e a1 xia i
(a)n
x e a1 xia i
i 1
i 1
n
n
ln L( ) nln(a) (a 1) ln xi xia
i 1
i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
xi
0
极大似然估计值为： ˆ 1
X
6
3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p)，这里 0 p 1. 现从总体中抽取了一个样本 X1, , X n ，
试求 p 的极大似然估计量.
n
n
解：似然函数为： L( p)
n
pxi (1
p)1 xi
xi p i1 (1
d
ln L( d
)
n
n i 1
xia
0
最大似然估计值为
ˆ
n
n
xia
i 1
13
8. 设 ˆ1 和 ˆ2 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 Dˆ1 2Dˆ2 ，求常数 c 和 d ，使 ˆ cˆ1 dˆ2 为 的无偏估计，并使方差 Dˆ 最小.
似然函数
L( )
n i 1
1
2
xi
e
1 n
1 i1
xi
2 e n
ln
L(
)
nln
2
ln
1
n
i 1
xi
d ln L( ) n 1 n
d
2
i 1
xi
0
参数θ的最大似然估计值为
ˆ
1 n
n
i 1
xi
12
7、设总体
X
的概率函数为
p( x; )
axa1exa 0
x x
0 ，其中
0
0
是未知参数，a
i 1
i 1
n
ln L( ) nln ( 1) ln xi i 1
令
d
ln L( ) d
1
(
n
1)
i 1
ln
xi
0
最大似然估计为： ˆ n n
ln xi
i 1
10
6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f ( x; )
1
x
e , x ,
2
其中 0. 如果取得样本观测值为 x1, x2 , , xn , 求参数θ
0
1
参数θ的矩估计值为
ˆ X
1 X
9
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (2) 最大似然估计,似然函数为
n
n
L( ) xi 1 n( xi ) 1
参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
(1) EX mp(1 p)m1 p m(1 p)m1
m1
m1
而 qm q
m1
1q
∴ mqm1
1
1
m1
(1 q)2 p2
∴
EX 1 p令Βιβλιοθήκη 1p1 n
n i 1
Xi
X
得
p的矩估计值为：pˆ
1 x
3
n
n
xi n
(2) 似然函数为：L( p)
p(1 p)xi 1 pn (1 p) i1
i 1
ln L( p) n ln p ln(1 p) n xi n
n
i1
令 d ln L( p) n i1 xi n 0
dp
p 1 p
得
p的极大似然估计值为：pˆ
1 x
4
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2,L , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
解： （1）矩估计
E( x) xexdx 1
0
解得矩估计量为 ˆ 1
X
5
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2,L , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
解：（2）似然函数为：
n
n
L( ) e xi n e xi
i 1
i 1
n
ln L( ) nln xi i 1
第六章 参数估计
概率论与数理统计作业15（§6.1） 概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
1
概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
n
1. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函数
i 1
p
(
xi
, )
，
n
X 是连续型随机变量，概率密度是 f (x; ) ，则似然函数是 f (xi ,。)
解： E( x)
b
x
1 dx
1
b2 a2 a b
a ba ba 2
2
E( x2 ) b x2
1 dx
1
b3 a3 a2 ab b2
a ba ba 3
3
按矩法得方程组 a b 1 n
2 n i1 xi
a2
ab b2 3
1 n
n i 1
xi2
解得矩估计量为
aˆ 2X
n xi p) i1
i 1
n
n
ln L( p) ( xi ) p n xi ln(1 p)
i1
i1
n
令 d ln L( p) dp
n i 1
xi
n xi
i 1
1 p
0
得 p的极大似然估计值为：pˆ X
7
4. 设 X ~ U (a,b) ，一个样本为 X1, X 2,L , X n ，求参数 a, b 的矩估计量.