对数的换底公式及其推论
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
且均不为
lg 2lg 6
lg 2 lg 6
∴ 4y 6z
∴ 3x 4 y 6z
例 4 已知 log a x= log a c+b，求 x
分析：由于 x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，
b
的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a c 移到等式左端，或者将 b 变为对数形式
解：∵ log 8 3=p∴ log 23 3 ＝ p log 2 3 3 p
1 log 3 2
3p
又∵ log 3 5 q ∴ lg 5 log 3 5
log 3 5
3 pq
log 3 10 log 3 2 log 3 5 1 3pq
三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业 ：
1）
证：① log a b log b a lg b lg a 1 lg a lg b
② log am bn
lg b n lg a m
nlg b mlg a
n log a b m
三、讲解范例：
例 1 已知 log 2 3=a， log 3 7=b, 用 a,b 表示 log 42 56
解：因为
log
2
5 解：①原式 = 5log 0.2 3
5
1 log 5
ห้องสมุดไป่ตู้53
5 15 1 3
②原式
=
1 2
log
2
3
1 2
log 3
2
5 4
log2
2
1 4
5 4
3 2
精心整理
精心整理 例 3 设 x, y, z (0, ) 且 3x 4 y 6 z
111
1 求证
； 2 比较 3x,4 y,6z的大小
x 2y z
解：∵ log 18 9=a∴ log 18 18 1 log 18 2 a ∴ log18 2=1 a 2
精心整理 ∵18b =5∴ log 18 5=b
∴ log 36 45
log 18 45 log 18 36
log18 9 log 18 5 1 log18 2
ab 2a
②若 log 8 3=p, log 3 5=q, 求 lg5
2lg k
lg k z
2 3x 4 y ( 3 4 ) lg k lg 3 lg 4
lg 64 lg 81 lg k lg 3lg 4
64 lg k lg
81 0 lg 3 lg 4
∴ 3x 4y
9
又： 4 y
6z
4 (
6 ) lg k
lg 36 lg 64 lg k
lg k lg 16
0
lg 4 lg 6
lg bn lg an
lg b1 lg b2 lg a1 lg a2
lg bn lg an
∴ lg( b1b2 bn ) lg( a1a2 an )
∴ log a1a2 an ( b1 b2
bn )
lg( b1b2 lg( a1a 2
bn ) an )
由等比定理得：
q
log ab x
证法 2：由换底公式左边＝ log a x log x ab log a ab 1 log a b ＝右边 log ab x log x a
2．已知 log a1 b1 log a2 b2
log an bn
求证： log a1a2 a n (b1b2 bn )
证明：由换底公式 lg b1 lg b2 lg a1 lg a 2
解法一：
由对数定义可知： x a log a c b alog a c a b c a b
解法二： 由已知移项可得 log a x log a c b ，即 log a x b
c 由对数定义知： x ab x c a b
c 解法三： 四、课堂练习：
①已知 log 18 9=a, 18 b =5, 用 a,b 表示 log 36 45
证明 1 ：设 3x 4 y 6z k ∵ x, y, z (0, ) ∴ k 1
取对数得： x lg k ， y lg k ， z lg k
lg 3
lg 4
lg 6
∴ 1 1 lg 3 lg 4 2 lg 3 lg 4 2lg 3 2 lg 2 lg 6 1
x 2 y lg k 2 lg k
2 lg k