换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。

当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。

换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。

1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。

然后找出其在新投影面上的投影。

2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。

二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。

因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。

1．点的一次换面（1）换V 面图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。

过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。

a 和1a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（b ）所示的投影图。

由于在（a）（b）（c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。

所以有如下关系：1a'a⊥O1X1轴；1a'1xa=a'xa=A a，即：换V面时Z坐标不变。

由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。

换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示：①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴；②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取1a'1x a=a'x a，点1a'即为所求。

（2）换H面换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：a'a⊥O1X1轴；1a1xa=axa=A a'，换H面是Y坐标不变。

其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。

2．点的二次换面由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。

如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。

但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。

如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。

二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影1a，而1a1xa=axa=A a'，作图方法与点的一次换面完全相同；（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影2a'，而2a'2xa=a '1x a =A 1a ，作图方法与点的一次换面类似。

（1） （2）图2-26点的二次换面注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：H V →HV 1→21H V →23H V ……。

三、几个基本作图问题1．将一般位置直线变换为投影面的平行线如图2-27（a ）为把一般位置直线AB 变换为投影面平行线的情况。

用V 1面代替V 面，使V 1面∥AB 并垂直于H 面。

此时，AB 在新投影体系V 1/H 中为正平线。

图2-27（b ）为投影图。

作图时，先在适当位置画出与不变投影ab 平行的新投影轴O 1X 1（O 1X 1∥ab ），然后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A 、B 两点在新投影面V 1上的新投影1a '、1b '，再连接直线1a '1b '。

则1a '1b '反应线段AB 的实长，即1a '1b '=AB ，并且新投影11b a ''和新投影轴（O 1X 1轴）的夹角即为直线AB 对H 面的倾角α，如图2-27（b ）。

如图2-27（c ）所示若求线段AB 的实长和与V 面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB ∥H 1面）也即应该换H 面，建立V/H 1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。

（a ） （b ） （c ）图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线2．将投影面的平行线变换为投影面垂直线将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。

应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。

即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。

如图2-28（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。

图2-28（b）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H 面，故应换V面，用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H，其中O1X1⊥ab。

（a）（b）图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线3．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。

先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。

如图2-29所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线，然后再换H 面，使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。

其作图方法详见图2-29（b），其中O1X1a''。

∥ab，O2X2⊥11b（a）（b）图2-29直线的二次换面4．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。

我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。

因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。

如图2-30表示将一般位置平面△ABC 变换为新投影体系中的正平线段的情况。

由于新投影面V 1既要垂直于△ABC 平面，又要垂直于原有投影面H 面，因此，它必须垂直于△ABC 平面内的水平线。

作图步骤（如图2-30（b ））：（1）在△ABC 平面内作一条水平线AD 线作为辅助线及其投影ad 、d a ''；（2）作O 1X 1⊥ad ；（3）求出△ABC 在新投影面V 1面上的投影1a '、1b '、1c '，1a '、1b '、1c ' 三点连线必积聚为一条直线，即为所求。

而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC 与H 面的倾角α。

同理，也可以将△ABC 平面变换为新投影体系V/H 1中的铅垂面，并同时求出一般位置平面△ABC 与V 面的倾角β。

（a ） （b ）（c ）图2-30平面的一次换面（求倾角）5．将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）如图表示将铅垂面△ABC 变为投影面平行面（求实形）的情况。

由于新投影面平行于△ABC ，因此它必定垂直于投影面H ，并与H 面组成V 1/H 新投影体系。

△ABC 在新投影体系中是正平面。

图2-30（b ）为它的投影图。

作图步骤（如图2-31（b ））：（1）在适当位置作O 1X 1∥1a '1b '1c '； （2）求出△ABC 在H 1面的投影1a 、1b 、1c ，连接此三点，得△1a 1b 1c 即为△ABC 的实形。

（a ） （b ）图2-31将投影面的垂直面变换为投影面平行面6．将一般位置平面变换为投影面平行面（二次换面）要将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。

因为如果取新投影面平行于一般位置平面，则这个投影面也一定是一般位置平面，它和原体系V/H 中的哪个投影面都不垂直而无法构成新投影体系。

因此，一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。

如图2-32（a ）所示，先换V 面，其变换顺序为X H V →X 1HV 1→X 221H V ，在H 2面上得到△222c b a =△ABC ，即△222c b a 是△ABC 的实形；如图2-32（b ）所示，先换H 面，其变换顺序为X H V →X 11H V →X 212H V ，在V 2面上得到△222c b a '''=△ABC ，即△222c b a '''是△ABC 的实形。

（a ） （b ）图2-32平面的二次换面 四、 应用举例1. 点到平面的距离确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。

图2-33，用变换V 面的方法，确定点D 到△ABC 的距离，作图步骤如下：（1）由于△ABC 中的AC 为水平线，故直接取新轴O 1X 1⊥ac ；（2）再作出D 面和△ABC 的新投影1d '和1a '1b '1c '（为一直线）；（3）过点1d '向直线1a '1b '1c '作垂线，得垂足的新投影1k '，投影1d '1k '之长即为所求的距离。

图2-33点到平面的距离2. 点到直线的距离及其投影例 如图2-34（a ）所示：已知线段AB 和线外一点C 的两个投影，求点C 到直线AB 的距离，并作出C 点对AB 的垂线的投影。

分析：要使新投影直接反映C 点到直线AB 的距离，过C 点对直线AB 的垂线必须平行于新投影面。

即直线AB 或垂直于新的投影面，或与点C 所决定的平面平行于新投影面。

要将一般位置直线变为投影面的垂直线，必须经过二次换面，因为垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。