7
先把V面换成平面P1， P1H，得到中间投影体系 再把H面换成平面P2， P2P1，得到新投影体系
《机械制图》 第4讲 换面法
2 点的二次换面作图
a’

X
V H a2
a


H X 1 P1

a1
P2 P1 X 2
作图规则：
a2a1 X2 轴，a2ax2 = aax1
《机械制图》 第4讲 换面法
3 求新投影的作图方法
由点的不变投影向新投 影轴作垂线，并在垂线上量 取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴 的距离。
《机械制图》 第4讲 换面法

X
V H


H
P1 X1
6
4.1.4 点的二次换面 1 新投影体系的建立
V P2
a2
X2
ax2
P1
A

a’ ax


a1
X
a
ax1
H
X1 P1 — H P1 — P2
思维训练 如何确定换面目标：空间分析！
如何 求？
•点到点的距离 •点到线的距离
•点到面的距离 •线到线的距离 •线与线的夹角 •线与面的夹角 •面与面的夹角
《机械制图》 第4讲 换面法
17
建立解题的空间模型
要点小结
• 四个基本问题－-熟练掌握
• 确定换面目标－-解题关键
方法：空间分析投影作图
《机械制图》 第4讲 换面法

V
a’

A


a1
P1
X
ax ax1
V
H


X

a
P1 H X1
H
X1
旧投影体系
V — H
A点的两个投影：a，a’
《机械制图》 第4讲 换面法
P1 — 新投影体系 H A点的两个投影：a，a1
5
2 新旧投影之间的关系
aa1 X1
a’ax = a1ax1
一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线垂直于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投 影轴的距离。
O2
l2k2 为距离实长。
H X1 P1
c1
a1
b .2 d1 c2,d k2 2l2 a2
继续，返回到原投影！
《机械制图》 第4讲 换面法
1 分析： l1 • 点A 的旋转轨迹 为垂直于o’o’ 的圆 o1≡o1 a1 • 该圆的正面投影 k1 积聚为与o’o’垂直 f1 的直线 • 该圆的水平投影 为椭圆，无法直 接画出
g
思考题2：试检查空间点 A绕O-O轴(正平线)旋转 时会不会与平面 BCDE 相碰撞（作图说明）。
g’
• 若点A与平面相碰， 则轨迹圆与已知 平面有交线， 且交线的正面投影必在该 面上，而且在与o’o’ 垂直 的直线上。
V X H
f’ f
O
步骤： • 作交线FG • 换面
g
《机械制图》 第4讲 换面法
c1
a1d1
d1
《机械制图》 第4讲 换面法
13
4.2.4 把一般位置平面变成投影面平行面
空间分析：变换一次投影面，把一般位置平面变成辅助投影
面P1的垂直面；选取辅助投影面P2进行二次换面，使一般位 置平面平行于辅助投影面P2。 例：在平面ABC中，过C点作直线CD与AB成60º角。
c’ a2
a’
8
4.2
4.2.1
换面法的四个基本问题
把一般位置直线变成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 思 考：换H面行否？
b’ a’ V H b a H X1 P1

a’
P1
A B a
a1 b1
V
X
b’
a1
b1
H
b
X1
9
《机械制图》 第4讲 换面法
4.2.2 把一般位置直线变成投影面垂直线
空间分析：一次换面把直线变成投影面平行线，二次换面
把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2 V
a’ b’ a2b2

P2
B A
b1
P1
a1
X
a
H
X1
10
《机械制图》 第4讲 换面法
例：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间分析：求C点到直线AB的距离，就是要求垂线CD的实长。
清华大学国家级精品课程
第 4讲
换面法
内容
4.1
换面法的基本概念
4.2
换面法的四个基本问题
《机械制图》 第4讲 换面法
2
4.1

换面法的基本概念
4.1.1问题的提出
如何求一般位置直线的实长？ 如何求平面的真实大小？
解决方法： 平行于新的投影面 垂直于新的投影面
更换投影面
换面法： 更换投影面，使几何元素相对新的投影面处于特殊位置， 使解题简化。
平面变成投影面垂直面，因此在平面内作一条投影面平行线， 经一次换面后，变成投影面垂直线，平面变成投影面垂直面。
c’ V C b’ A X B D c d b H
《机械制图》 第4讲 换面法
P1 c1
a’
a1d1 b1
a
X1
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例：把三角形ABC变成投影面垂直面
b’ a’ c’
V X H a
b c H X1 P1
当直线AB垂直投影面时，CD平行投影面，反映实长。
c’ A D X a’ c a H d a1

b’ d’ b
V H
C
B
d1
b1
a2b2d2

abd
P c
X1 P 1
c1

P1
P2 X2
c2
《机械制图》 第4讲 换面法
11
4.2.3 把一般位置平面变成投影面垂直面
空间分析：如果把平面内的一条直线变成投影面垂直线，则
18
作业
P13 —— 1, 2, 3, 4, 5, 6 *
P14 —— 7，8，9
P16 —— 1，2，3
《机械制图》 第4讲 换面法
19
《机械制图》 第4讲 换面法
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X V H
d’b’ d2 c2 Nhomakorabeaa d c H P1 X1
《机械制图》 第4讲 换面法
b
a1b1
b2
c1 P 1
P2
X1
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思考题1：求两异面直线的距离。 分析： 只需将其中的一条 直线变换为投影面 垂直线即可。 V
a'
d' c'
b' O b d O1 c k1 l1 b1
X
H a
l1 的位置？ KL为何种位置线？ KL为P2的平行线！ k1 l1 // O2X2 轴。
《机械制图》 第4讲 换面法
3
4.1.2 选择新投影面的原则
a’
P1
A B a b
a1
V
b’
b1
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
H
1. 新投影面必须对空间的几何元素处于最有利的解题位置 2. 新投影面必须垂直于一个原投影面(应用正投影理论)
《机械制图》 第4讲 换面法
4
4.1.3 点的一次换面 1 新投影体系的建立