2020年天津市高考数学模拟试卷（6）一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1．（5分）设全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，2）C ．（0，1）D ．（0，2）2．（5分）下列说法错误的是（ ）A ．命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”B ．命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的否命题是真命题C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 为假命题D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件3．（5分）已知a ＝lg 0.3，b ＝20.2，c ＝0.80.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c4．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（ ） A ．12B ．18C ．24D ．365．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则实数a ＝（ ） A ．19B ．29C ．13D ．√236．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π247．（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．498．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．19．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 个．11．（5分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ．12．（5分）已知函数f （x ）＝e 2x ，则过原点且与曲线y ＝f （x ）相切的直线方程为 13．（5分）在底面是边长为2√3的正方形的四棱锥P ﹣ABCD 中，顶点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为2，若四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则R ﹣r ＝ ．14．（5分）要制作一个容积为9m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是 元． 15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ ．三．解答题（共5小题）16．已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． （1）求f(π3)的值和f （x ）的最小正周期；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B1BC＝60°，直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A﹣B l C1﹣B的余弦值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n+n＝a n+1，n∈N*（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n}的首项b1＝1，其前n项和为T n，且点（T n+1，T n）在直线xn+1−yn=12上，求数列{b na n+1}的前n项和R n．19．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x−√2y＝0，经过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为5π6的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣xlnx+ax，f'（x）为f（x）的导数，函数f'（x）在x＝x0处取得最小值．（1）求证：lnx0+x0＝0；（2）若x≥x0时，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．2020年天津市高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：∵全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．（5分）下列说法错误的是（）A．命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”B．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是真命题C．若p∧q为假命题，则p∨q为假命题D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【解答】解：命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”满足命题的否定形式，所以A正确；命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是x≠3，则x2﹣4x+3≠0，否命题的真命题，所以B正确；若p∧q为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p∨q为假命题，所以C 不正确；若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D正确；故选：C．3．（5分）已知a＝lg0.3，b＝20.2，c＝0.80.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：a＝lg0.3＜0，b＝20.2＞1，c＝0.80.6∈（0，1）．∴a＜c＜b．故选：A．4．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（ ） A ．12B ．18C ．24D ．36【解答】解：根据题意，等比数列{a n }中，设其公比为q ，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则6﹣6q 2+6q 4＝78，解可得q 2＝4或q 2＝﹣3，舍； 故a 5＝6q 2＝24， 故选：C ．5．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则实数a ＝（ ） A ．19B ．29C ．13D ．√23【解答】解：∵抛物线的方程为y 2＝4√2x ， ∴抛物线的准线为x =−√2，焦点为F （√2，0）． 又∵直线x =−√2交双曲线x 2a 2−y 2＝1于A 、B 两点，△F AB 为直角三角形．∴△F AB 是等腰直角三角形，AB 边上的高FF '＝2√2， 由此可得A （−√2，2√2）、B （−√2，﹣2√2），如图所示． 将点A 或点B 的坐标代入双曲线方程，得2a 2−8=1，解得a =√23（负值舍去）．故选：D ．6．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π24【解答】解：将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，可得y＝sin （3x ﹣3m +π6）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝sin （12x﹣3m +π6）的图象，若g （x ）为奇函数，则当m 的最小时，﹣3m +π6=0，∴m =π18， 故选：C ．7．（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【解答】解：根据题意，将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，每本书有3种情况，则一共有3×3×3＝27种分法， 若甲、乙都分到书，分2种情况讨论： 甲乙丙三人都分到书，有A 33＝6种情况， 只有甲乙分到书，有C 32×2＝6种情况， 则甲、乙都分到书的的情况有6+6＝12种， 故则甲、乙都分到书的概率P =1227=49； 故选：D ．8．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．1【解答】解：∵E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心，且AB →=a →，AC →=b →，∴BG →=13(BA →+BC →) =13(−AB →+AC →−AB →)=−23AB →+13AC →=−23a →+13b →，又BG →=λa →+μb →， ∴λ+μ=−13． 故选：A ．9．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【解答】解：根据题意，设g （x ）＝f （x +2），g （x ）的图象可以由f （x ）的图象向左平移2个单位得到的，函数f （x ）是R 上的奇函数，则函数g （x ）的图象关于点（﹣2，0）对称， 则g （0）＝f （2）＝0，g （﹣4）＝f （﹣2）＝0， 则g （x ）的草图如图：故xf （x +2）≤0⇒xg （x ）≤0⇒{x ≥0g(x)≤0或{x ≤0g(x)≥0；则有x ≤﹣4或x ≥﹣2；即x 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）； 故选：C ．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 28 个． 【解答】解：∵a ，b ∈N ，且a +b ≤6，∴当a ＝0时，b ＝0，1，2，3，4，5，6，此时复数共7个；当a＝1时，b＝0，1，2，3，4，5，此时复数共6个；当a＝2时，b＝0，1，2，3，4，此时复数共5个；当a＝3时，b＝0，1，2，3，此时复数共4个；当a＝4时，b＝0，1，2，此时复数共3个；当a＝5时，b＝0，1，此时复数共2个；当a＝6时，b＝0，此时复数共1个；∴复数a+bi共7+6+5+4+3+2+1＝28个故答案为：28．11．（5分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为T r+1=C6r(−x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为C62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．12．（5分）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex﹣y ＝0【解答】解：设切点为（m，n），函数f（x）＝e2x的导数为f′（x）＝2e2x，可得切线的斜率为2e2m，由切线过原点，可得nm =e2mm=2e2m，解得m=12，n＝e，则切线方程为y＝2ex．故答案为：2ex﹣y＝0．13．（5分）在底面是边长为2√3的正方形的四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的射影H 为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥P﹣ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则R﹣r＝32．【解答】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，底边长为2√3， ∵BC ∥AD ，∴∠PBC 即为PB 与AD 所成角，由tan ∠PBC ＝2，可得斜高为2√3， ∴△PEF 为正三角形，边长为2√3，正四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径，即为△PEF 的内切圆半径， 可得r =√3tan30°=√3×√33=1，设O 为外接球球心，在Rt △OHA 中，（PH ﹣R ）2+AH 2＝R 2， 即(3−R)2+(√6)2=R 2，解得R =52， ∴R ﹣r =32． 故答案为：32．14．（5分）要制作一个容积为9m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是 300 元． 【解答】解：设长方体容器的长为xm ，宽为ym ； 则x •y •1＝9， 即xy ＝9； 则该容器的造价为 20xy +10（x +x +y +y ） ＝180+20（x +y ） ≥180+20×2√xy ＝180+120＝300；（当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立） 故该容器的最低总价是300元； 故答案为：300．15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ −12 ． 【解答】解：f （3）＝1﹣2×3＝﹣5 f [f （3）]＝f （﹣5）＝sin （−5π6）=−12故答案为−12． 三．解答题（共5小题）16．已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． （1）求f(π3)的值和f （x ）的最小正周期；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． 所以f(π3)=√32×√32−14=12． 所以f （x ）=sinx(12sinx +√32cosx)=1−cos2x 4+√34sin2x −14=12sin(2x −π6)， 所以函数f （x ）的最小正周期为π；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A2)=14， 所以sin(A −π6)=12，解得A =π3． 利用正弦定理a sinA =b sinB=c sinC，解得b =√3，c =√3sin(2π3−B)， 所以b +c =√3+sin(2π3−B)]=4sin(B +π6)， 由于{0＜B ＜π20＜C =2π3−B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以B +π6∈(π3，2π3)，所以b +c ∈(2√3，4]．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B 1BC ＝60°，直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，求二面角A ﹣B l C 1﹣B 的余弦值．【解答】解：（1）因为AO ⊥平面BB ₁C ₁C ，所以AO ⊥B ₁C ， 因为BC ＝BB ₁，所以四边形BB ₁C ₁C 为菱形， 所以BC ₁⊥B ₁C ，因为AO ∩BC ₁＝O ，所以B ₁C ⊥平面ABC ₁， AB ⊂平面ABC ₁， 所以B ₁C ⊥AB ；（2）直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，根据题意，∠ABO ＝30°，设BC ＝2，∠B 1BC ＝60°， 则B ₁C ＝2，OB =√3，OA ＝OB tan30°＝1，以O 为原点，OB ，OB ₁，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则O （0，0，0），B （√3，0，0），B ₁（0，1，0），A （0，0，1），C ₁（−√3，0，0）， 由AB →=B 1A 1→，得A 1（−√3，1，1，）， 设平面B ₁C ₁A ₁的法向量我m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅A 1B 1→=−√3x +z =0m →⋅C 1B 1→=−√3x −y =0，得m →=(1，−√3，√3)，平面B ₁C ₁B 的法向量为OA →=(0，0，1)， 由cos ＜m →，OA →＞=√3√7=√217， 故所求二面角的余弦值为−√217．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝0，S n +n ＝a n +1，n ∈N * （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n }的首项b 1＝1，其前n 项和为T n ，且点（T n +1，T n ）在直线x n+1−y n=12上，求数列{b n a n +1}的前n 项和R n ．【解答】证明：（Ⅰ）由S n +n ＝a n +1，①， 得S n ﹣1+n ﹣1＝a n ，n ≥2，②， ①﹣②得a n +1＝2a n +1， ∴a n +1+1＝2（a n +1）， ∵a 1＝0， ∴a 1+1＝1，∴{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列， 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n +1＝2n ﹣1，∴a n ＝2n ﹣1﹣1，∵点（T n +1，T n ）在直线xn+1−y n=12上，∴T n+1n+1−T n n =2， ∴{T n n}是以T 11=b 11=1为首项，公差为12的等差数列，∴T n n=1+12（n ﹣）=12（n +1）∴T n =n(n+1)2， 当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1=n(n+1)2−n(n−1)2=n ， 又b 1＝1满足上式， ∴b n ＝n ， ∴b n a n +1=n •（12）n ﹣1．∴R n ＝1×（12）0+2•（12）1+3•（12）2+…+n •（12）n ﹣1．③12R n ＝1×（12）1+2•（12）2+3•（12）3+…+n •（12）n ．④，由③﹣④可得，−12R n ＝1+（12）1+（12）2+（12）3+…+•（12）n ﹣n •（12），=1−12n1−12−n •（12）n ＝2﹣（n +2）•12n，∴R n ＝4−n+22n−1 19．如图，已知圆G ：x 2+y 2﹣2x −√2y ＝0，经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点M （m ，0）（m ＞a ）倾斜角为5π6的直线l 交椭圆于C ，D 两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【解答】解：（1）x 2+y 2−2x −√2y =0过点F 、B ， ∴F （2，0），B(0，√2)， 故椭圆的方程为x 26+y 22=1（2）直线l ：y =−√33(x −m)(m ＞√6){x 26+y 22=1y =−√33(x −m)消y 得2x 2﹣2mx +（m 2﹣6）＝0 由△＞0⇒−2√3＜m ＜2√3， 又m ＞√6⇒√6＜m ＜2√3设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2＝m ，x 1x 2=m 2−62，y 1y 2=13x 1x 2−m 3(x 1+x 2)+m 23，FC →=(x 1−2，y 1)，FD →=(x 2−2，y 2)∴FC →⋅FD →=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=2m(m−3)3∵F 在圆E 的内部，∴FC →⋅FD →＜0⇒0＜m ＜3， 又√6＜m ＜2√3⇒√6＜m ＜3．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣xlnx +ax ，f '（x ）为f （x ）的导数，函数f '（x ）在x ＝x 0处取得最小值．（1）求证：lnx 0+x 0＝0；（2）若x ≥x 0时，f （x ）≥1恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a ，f ″(x)=e x −1x ， 易知函数f ''（x ）在（0，+∞）上为增函数，又f ″(12)=√e −2＜0，f ″(1)=e −1＞0， 故函数f ''（x ）存在唯一零点m ∈(12，1)，使得f ″(m)=e m −1m=0， 且当x ∈（0，m ）时，f ''（x ）＜0，f ′（x ）单调递减，当x ∈（m ，+∞）时，f ''（x ）＞0，f ′（x ）单调递增，故函数f ′（x ）在x ＝m 处取得最小值，依题意，m ＝x 0，∴e x 0−1x 0=0，即e x 0=1x 0，两边同时取对数得x 0=ln 1x 0=−lnx 0，∴lnx 0+x 0＝0；（2）由（1）知，当x ≥x 0时，f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a 的最小值为e x 0−(lnx 0+1)+a =1x 0+x 0+a −1， ①当1x 0+x 0+a −1≥0，即a ≥1−(1x 0+x 0)时，此时f （x ）为[x 0，+∞）上的增函数，∴f(x)min =f(x 0)=e x 0−x 0lnx 0+ax 0=1x 0+x 02+ax 0≥1x 0+x 02+x 0[1−(1x 0+x 0)]=1x 0+x 0−1，由（1）知，12＜x 0＜1，故1x 0+x 0−1＞1，即f （x ）＞1，故a ≥1−(1x 0+x 0)满足题意； ②当1x 0+x 0+a −1＜0，即a ＜1−(1x 0+x 0)时，f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 0＜x 2，则f ′(x 2)=e x 2−(lnx 2+1)+a =0，即a =lnx 2−e x 2+1，当x ∈（x 0，x 2）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，∴f （x ）min ＝f （x 2），注意到f （1）＝e +a ＝1时，a ＝1﹣e ，且此时f ′（1）＝e +a ﹣1＝0， （i ）当a ≥1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1≥0＝f ′（x 2）， ∴0＜x 2≤1，即1﹣x 2≥0， 又f(x 2)=e x 2−x 2lnx 2+ax 2=e x 2−x 2lnx 2+(lnx 2−e x 2+1)x 2=(1−x 2)e x 2+x 2=(1−x 2)(e x 2−1)+1，而e x 2−1＞0，故(1−x 2)(e x 2−1)+1＞1，即f （x 2）＞1， 由于在12＜x 0＜1下，恒有1x 0+x 0＜e ，故1−e ＜1−(1x 0+x 0)； （ii ）当a ＜1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1＜0＝f ′（x 2）， ∴x 2＞1＞x 0，∴当x ∈（1，x 2）时，f （x ）为减函数，∴f （x ）＜f （1）＝e +a ＜1，与题设不符，故舍去． 综上，实数a 的取值范围为[1﹣e ，+∞）．。