M L, M( x, y, z),
x
M0M// s
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
注意： 1.两个等号连等表示直线，一个等号表示平面
2.若
m

0,直线的方程为

y
x n
y0
x0
0 z z0
p
3.若m n 0, p 0,直线的方程为

x y

x0 y0

0 0
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt

y

y0

nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
解 设所求直线的方向向量为 s (m, n, p),
根据题意知
s
n1
,
s
n2
,
取 s n1 n2 (4, 3, 1),
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
例7. 求直线
与平面
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
代入平面方程得 t 1
第六节
第八章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2

A1 A2
x x

B1 B2
从而确定交点为（1，2，2）.
例 8 求过点M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
(2)
L1 //
L2

m1 m2

n1 n2

p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1

(1,4,
0),
s2

(0,0,1),

s1

s2

0,

s1

s2
,
即 L1L2 .
例3. 求以下两直线的夹角
L2
:
x 2

y2 2

z 1
解:直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 s2 (2, 2, 1)
点坐标 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s

n1

n2

(4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程

y

t
.
z 2 3t
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA (2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
二直线夹角 的余弦为 1 2 (4) (2) 1 (1)
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
4
例 4 求直线53xx32yy3zz1900与直线
2x

3
x

2 8
y y

z z

y y

C1z C2z

D1 D2
0 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． M0( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p),
z s
L
M
M0
o
y
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin

cos
2



cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)Leabharlann L A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 5 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解 n (1, 1, 2), s (2, 1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直
线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1


y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
例 6 求过点(3, 2,5)且与两平面x 4z 3 和 2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
23 18

0的夹角余弦. 0
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．

0 .
2
当直线与平面垂直时,规定其夹角
L : x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n (A, B,C),