端点固定
2 2u u 2 a f ( x, t ), x 0, t 0 t 2 2 x u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), x 0 u (0, t ) 0, t0
奇延拓
端点自由
2 2u 2 u x 0, t 0 t 2 a x 2 f ( x, t ), ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), x 0 u (0, t ) 0, t0 x
非齐次方程的初值问题和推迟势
2 3 u a ( u u u ) f ( x , y , z , t ), ( x , y , z ) R , t 0, tt xx yy zz 3 u ( x , y , z ), u ( x , y , z ), ( x , y , z ) R , t t 0 t 0
x , t x
则 u2 ( x, t ) ( x, t , )d
0
t
三、半无界弦的振动问题
对称延拓法的理论依据：
如果自由项 f ( x, t ), 初始数据 ( x) 和 ( x) 是 x 的 奇（偶）函数，则由表达式（19）所定义的函数 u ( x, t ) 是 x 的奇（偶）函数。
偶延拓
四、三维波动方程
2 3 u a ( u u u ), ( x , y , z ) R , t 0, tt xx yy zz 3 u ( x , y , z ), u ( x , y , z ), ( x , y , z ) R , t t 0 t 0
Kirchhoff公式
1 u(M , t ) ( 2 4 a t 1 2 4a
M Sat

( , , )
t
dS
M Sat
( , , )
t
dS )

r at
r f ( , , , t ) a d d d , r
其中 r ( x) 2 ( y ) 2 ( z ) 2 .
2 2 u2 2 u2 a f ( x, t ), 2 2 t x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, 2 t
x , t 0 x
非齐次方程，齐次初始条件
则 u u1 u2 是初值问题（10）～（11）的解。
定理1（齐次化原理或Duhamel原理） 设 f ( x, t ) C1 ( R [0, )), 若 ( x, t , ) 满足：
2 2 2 a , 2 2 t x ( x, ) 0, ( x, ) f ( x, ), t
三维波动方程初值问题解的泊松公式
1 ( , , ) ( , , ) u(M , t ) ( dS dS ) 2 4 a t S M t t SM
at at
x at sin cos , y at sin sin , 0 , 0 2 . z at cos ,
2 2u1 u1 2 a , x , t 0 2 2 t x u ( x, 0) ( x), u1 ( x, 0) ( x), x 1 t
齐次方程，非齐次初始条件
u2 u2 ( x, t ) 是初值问题
u ( x, y , t ) 2 a t C M 1
at
( , )d d
a 2t 2 ( x) 2 ( y ) 2

2 a C M
at
1
( , )d d
a 2t 2 ( x) 2 ( y ) 2
二维非齐次波动方程的初值问题
2 u a (u xx u yy ) f ( x, y, t ), tt u t 0 ( x, y ), ut t 0 ( x, y ),
( x, y ) R 2 , t 0, ( x, y ) R 2 ,
利用叠加原理和齐次化原理，可以得到其解为 1 ( , )d d u ( x, y , t ) 2 2 2 2 2 a t C M a t ( x ) ( y ) at
二、无界弦的受迫振动和齐次化原理
2 2u u 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x t
由叠加原理可知， 若 u1 u1 ( x, t ) 是初值问题
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a 1 t x a (t ) f ( , )d d 2a 0 x a (t )
一维非齐次波动方程初值问题的 Kirchhoff 公式
五、二维齐次波动方程的初值问题
2 2 u a ( u u ), ( x , y ) R , t 0, tt xx yy 2 u ( x , y ), u ( x , y ), ( x , y ) R , t t 0 t 0
二维波动方程初值问题的Poisson公式