数学物理方程习题解习题一1，验证下面两个函数：(,)(,)sin x u x y u x y e y ==都是方程0xx yy u u +=的解。

证明：（1）(,)u x y =因为32222222222222223222222222222222222222222211()22()2()()11()22()2()()0()()x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y yu y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-⋅⋅=-+++-⋅-=-=++=-⋅⋅=-+++-⋅-=-=++--+=+=++所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。

（2）(,)sin xu x y e y = 因为sin ,sin cos ,sin x x x xx xxy yy u y e u y e u e y u e y=⋅=⋅=⋅=-⋅所以sin sin 0xxxx yy u u e y e y +=-=(,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。

2，证明：()()u f x g y =满足方程0xy x y uu u u -=其中f 和g 都是任意的二次可微函数。

证明：因为()()u f x g y =所以()(),()()()()()()()()()()()()0x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=⋅=⋅''=⋅''''-=⋅-⋅⋅=得证。

3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。

解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ=所以2(),()x xx u f u f ξλξλ'''=⋅=⋅(),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=⋅== 将上式带入原方程得2(43)()0f λλξ''-+=因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2-430 λλ+=从而12 =3,1λλ=，故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。

4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。

解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。

在杆上任意截取位于[,]x x x +∆的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应变）分别是(,)u x t x ∂∂与(,)ux x t x∂+∆∂，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ∂∂与()(,)uSE x x x x t x∂+∆+∆∂，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u uSE x x x x t SE x x t x x∂∂+∆+∆-∂∂且合力的正向与坐标轴相同，设x 为微元质心的坐标，则质心处的加速度为22(,)ux t x∂∂，由牛顿第二定律有：()()()()()22(,),,, u u ux s x x t sE x x x x t sE x x t x x x xx x xρ∂∂∂⋅∆⋅=+∆+∆-<<+∆∂∂∂约去s ，并对右端应用中值定理，得()()22(,)[], 01x x x u ux x x t E x x x x xθρθ=+∆∂∂∂⋅∆⋅=∆<<∂∂∂约去x ∆，并令0x ∆→，即得：()()u u x E x t t x x ρ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦由于弹性杆是均匀的，()x ρρ=（常数），()E x E =（常数）从而22222u u a t x ∂∂=∂∂，其中2E a ρ=（E 是氏模量，ρ是体密度）。

5， 一均匀细杆直径为l ，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从规律 11()dQ K u u dSdt =-记杆的体密度为ρ，比热为C ,热传导系数为K .试导出此时温度u 满足的微分方程。

解：取杆轴为x ，考察杆位于[]12,x x 段在[]12,t t 时间区间上的热平衡，在[]12,t t 时间，[]12,x x 段的侧面流入的热量为： 2211111()t x t x Q K u u ldxdt π=--⎰⎰在点1x ，2x 处截面流入该段的热量为：2211222132(,),(,)44t t t t u l u l Q K x t dt Q K x t dt x x ππ∂∂=-=∂∂⎰⎰所以2222111122123112(,)()4t x t x t x t x u l Q Q Q Q K x t dxdt K u u ldxdt x ππ∂=++=--∂⎰⎰⎰⎰温度升高所吸收的热量：()[]2122112211212()(,)(,) 4x x t x t x t x t x Q C x x S u x t u x t dxuc sdxdt t l u c dxdttρρπρ=-∂=∂∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰由能量守恒定律得：2211222112[()]044t x t x l c uU l K K u u l dxdt t x πρππ∂∂-⋅+-=∂∂⎰⎰由1212,,,x x t t 的任意性，有21124()k u k u u u t c x c lρρ∂∂=--∂∂。

6,设某溶质在溶液中扩散，它在时刻t 溶液中点(,,)x y z 处的浓度用函数(,,,)u x y z t 表示，试导出u 所满足的微分方程。

解：由Nernst 定律得(,,)udm D x y z dsdt n∂=-∂ 上式中u 表示扩散物质浓度，dm 为在dt 时间经过面ds 扩散物质的量，(,,)D x y z 为扩散系数。

在[]12,t t 时段通过边界曲面S 流入区域Ω的质量为212121222222 [()()()] ()t t st t t t u m Ddsdt nu u uD D D dxdydzdt x x y y z zu u uD dxdydzdt x y z ΩΩ∂=∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 从时刻1t 到2t ，Ω中该物质质量的增加为：2121[(,,,)(,,,)]t t u x y z t u x y z t dxdydzudtdxdydz tΩΩ-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而，由质量守恒定律有2211222222()t t t t u u uu D dxdydzdt dtdxdydz x y z t ΩΩ∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰交换积分次序可得：21222222 [()]0t t u u u uD dxdydzdt x y z n Ω∂∂∂∂++-=∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰ 由于1t ，2t 在区域Ω都是任意的，可以得到222222()u u u uD t x y z∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 7,一根均匀杆原长l ，一段固定，另一端拉长ε而静止，然后突然放手任其振动，试写出其定解问题。

解：设点在0x =处固定，在x l =处拉长ε而静止，然后突然放手任其振动，则方程为2,0,0tt xx u a u x l t =<<>。

边界条件为：00,0x x lu u x ==∂==∂； 初始条件为：00,0t tt ux u lε====。

8，长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()2x l x -，试写出其定解问题。

解：侧面绝热，方程为2,0,0t xx u a u x l t =<<>边界条件为 00,,0x xx lqu u t k====> 初始条件为 0(),02t x l x ux l =-=<< 9，长度为l 的均匀细杆，初始温度为0℃，端点0x =处保持常温0u ，而在x l =处和杆的侧面热量可以散发到周围介质中去，设周围介质的温度为0℃。

试列出杆上的温度分布函数(,)u x t 所满足的定解问题。

解：类似第5题，可得方程22,0,0t xx u a u b u x l t =-<<>。

其中2k a c ρ=，214k b c l ρ=边界条件为: 00,()0x x l uu u hu x==∂=+=∂ 初始条件为：00t u==10，设函数1(,)u x t 和2(,)u x t 分别是定解问题200012,0,0,0,0,(),()tt xx t t t x x l u a u x l t u u u t u t ϕϕ====⎧=<<>⎪==⎨⎪==⎩和201020,0,0,(),(),0,0tt xx t t t x x l u a u x l t u x u x u u ψψ====⎧=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 的解，试证明函数12u u u =+是定解问题20102012,0,0,(),(),(),()tt xx t t t x x l u a u x l t u x u x u t u t ψψϕϕ====⎧=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 的解。

证明：利用叠加原理Ⅰ得,1,2i i Lu f i ==，其中0i f =。

因为()1,u x t 是定解问题一得解，()2,u x t 是定解问题二的解。

所以21i i i u c u ==∑必满足2tt xx u a u =。

又因为对定解问题一有101011120,0,(),()t tt x x lu u u t u t ϕϕ========，对定解问题二有20120222(),(),0,0t t t x x lu x u x u u ψψ========所以0121()t t t uu u x ψ====+=；同理可得1u 与2u 的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。