一、孤立导体的电容
1、引入
•孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以至于其它 导体或带电体对它的影响可以忽略不计。 •真空中一个半径为R、带电量为Q 的孤立球形导体的电势为
U Q 4 0 R
电量与电势的比值却是一个常量，只与导体的形状有关， 由此可以引入电容的概念。
2、电容的定义
孤立导体所带的电量与其 电势的比值叫做孤立导体 的电容


q
R2
E dl
ln R2 R1
R1
平板电容器
2 o l 圆柱形电容器的电容
C q U 12 2 o l
•圆柱越长，电容越大；两圆柱 之间的间隙越小，电容越大。
ln( R2 R1 )
例1 ：平行板电容器两极板面积为S ，极板间有两层电
介质, 介电常数分别为1 ，2 ，厚为d1 , d2 。电容器极
孤立导体的电容与导体的 形状有关，与其带电量和 电位无关。
二、电容器 1、电容器的定义
用空腔B 将非孤立导体 A 屏蔽, 消 除其他导体及带电体 ( C、D ) 对A 的影响。
+ + - + A qA + B + + + -qA
-
C
D
两个带有等值而异号电荷的导体所组 成的系统，叫做电容器。
电容器两个极板所带的电量为+Q、 2、电容器的电容 -Q，它们的电势分别为UA、UB， A 带电 qA , B 内表面带电 -qA , 定义电容器的电容为： 腔内场强E , A B间电势差 Q Q UAB = UA – UB C
Ed
2

1 2
SE d
2
电容器所具有的能量与极板间电场E和D有关，E和 D是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电 场存在的空间有关，电场携带了能量。
2、电场的能量密度
定义：单位体积内的能量
e
1 2
E
2
对于任意电场，本结论都是成立的。
例1：球形电容器当电量为Q时所储存的能量。 解：由Gauss定理知球形电容器内的场强为E 取图示同心薄球壳为体积元：
板上自由电荷面密度 0 。 求： ① 各介质内的 ② 电容器的电容 。 解： ① 由高斯定理
D，E；
+0
+ + + + + +
1
D1
D1
S
2 –0
S
– – – – – –
D2
S
S
S

S
D dS D1S D2 S 0 D dS D1S ' 0 S D
有电介质时的高斯定理

S
D dS

Q0
( S内 ）
电位移矢量和电场强度的关系
P 0 E
r 1
D ＝ 0 r E E
D＝ 0E＋ P
大学物理学电子教案
电容
7－4 7－5 电容 电容器 静电场的能量
电容器
7－4 电容 电容器
A
2
与W
比较得：
C
2C
53．一平行板电容器极板面积为S，两板间距为d，充电 后，极板上的电量为+q和 -q，断开电源，再将极板间距 拉大为原来的2倍。求拉力作的功。
解：原电容器电容为：
C1
0S
d
充电后电容器中电场能量为： 拉大距离后电容器电容为：
C2
W e1
q
2
2C 1
0S
2d

R2
解：若电容器两极板上电荷的分布是均 匀的，则球壳间的电场是对称的。由高 斯定理可求得球壳间的电场强度的大小 为 Q
E＝
电场的能量密度为
we 1 2
4 r
2
E ＝
2
Q
2
2 4
3 2 r
取半径为r、厚为dr的球壳， 其体积为dV=4πr2dr。所以此 体积元内的电场的能量为
dW e we dV Q
•在电路中：通交流、隔直流； •与其它元件可以组成振荡器、时间延迟电路等； •储存电能的元件； •真空器件中建立各种电场； •各种电子仪器。
5、电容器电容的计算
计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； •计算两极板之间的电势差； •根据电容器电容的定义求得电容。
1 2
CU
2
2C
电容器所储存的静电能
W e＝ Q
2

1 2
CU
2
外力克服静电场力作功， 把非静电能转换为带电 体系的静电能
2C
二、静电场的能量 能量密度
1、静电场的能量
对于极板面积为S、极板间距为d平板电容器， 电场所占的体积为Sd，电容器储存的静电能 为
We 1 2 CU ＝
2
1 S 2 d
dW 1 2
W
2 2 2 2
Q 4 πε0 ε r r
2
ε0 εr E dV
2
1 2
ε0 ε r
Q
2
Q
( 4 πε0 εr r )
( 1 R1 1 R2
4 πr dr
2
Q
dr
2
8 πε0 εr r
Q
2
R2
8 πε0 ε r
Q
2
R1
r
dr
2

8 πε0 ε r
)
与W

比较得：
C 4 πε0 εr R1 R2 R2 R1
解：在上极板取dx 窄条，电容为：
dC
a
0adx
d x
C
d x
0
0adx

0a
ln
d a d
作业 习题册:44-55
例1、球形电容器的内、外半径分别为 R1和R2，所带的电量为±Q。若在两 球之间充满电容率为ε的电介质，问此 电容器电场的能量为多少。
R1
2C
+Q0
εr
−Q0
例2 、半径为R的均匀带电球体，电量为q，相对
介电常数为 r
2 ，放在真空中，求电场能。
解：由有介质时的高斯定理可以求出均匀带电 球体的场强分布为：
E内 E外 qr 4 0 r R q 4 0 r
2 3
(r R ) (r R )
电场能为：
＝ 1 1 C1 ＋ 1 C2
C1
C2
等效
等效电容
C
Q U
1 C
＝
1 C1
＋
1 C2
C
结论： •当几个电容器串联时，其等效电容的倒数等于几个电 容器电容的倒数之和； •等效电容小于任何一个电容器的电容，但可以提高电 容的耐压能力； •每个串联电容的电势降与电容成反比。
讨论
C
1 C
C
i
2 2 4
R1
2 2
R2
3 2 r
4 r d r
2
Q
8 r
dr
电场总能量为
R2
We
R1
8
Q
2
Q
2 2
dr
r
1 1 R R 8 1 2
d1 d2 0 2 1
D2
S
S
S
电容器的电容C Fra bibliotekq U

0 S
U
S
d1
d2
d1 1 d 2 2
三、电容器的并联和串联
C1
1、电容器的并联
特点： 每个电容器两端的电势差相等 总电量：
Q Q 1 Q 2 C 1U C 2 U C 1 C 2 U
i
并联电容器的电容等于 各个电容器电容的和。
串联电容器总电容的倒数 等于各串联电容倒数之和。

i
1 Ci
当电容器的耐压能力不被满足时，常用串并联使用来 改善： 串联：使用可提高耐压能力； 并联：使用可以提高容量。 电介质的绝缘性能遭到破坏，称为击穿。 所能承受的不被击穿的最大场强叫做击穿 场强或介电强度。
R1
电容
C 4
o
R1 R 2
C 4 o R
2
d oS d
R 2 R1
平行板电容器电容。
圆柱形电容器
解：设两极板带电 q 板间电场 q E r 2 o rl ( l >> R2 – R1 )
( R1 r R2 )
R2
R1 l
板间电势差 U 12
7－5 静电场的能量 能量密度
一、电容器的电能
设在某时刻两极板之间的电势差为U，此 时若把+dq电荷从带负电的负极板搬运到 带正电的正极板，外力所作的功为
dW Udq q C dq
+
+dq
_
E
若使电容器的两极板分别带有±Q的电荷，则外力所作的功为
Q
W
C
0
q
dq ＝
Q
2

1 2
QU
U
AB
U
A
UB
电容器的分类
按可调分类：可调电容器、微调电容器、 双连电容器、固定电容器 按介质分类：空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器、 纸质电容器、电解电容器 按体积分类：大型电容器、小型电容器、微型电容器 按形状分类：平板电容器、圆柱形电容器、球形电容器
球形
R1 R2
柱形
R1
R2