d x 2 D E
D 0 x
0 r
0 x 0 r
r， 0 d
P 0 r 1 E
S
S0
0 x P r 1 r
0x
X
d 0 x D d 2 2 D 0d 均匀场 E 0 2 0
P 0 r 1E = 0
1 2 r
S S 1 2 0S 2 2 2 r 1 0 0 1 r 2 2 0 0 1 r
+0 - 0 + + - + +1 S - -+ + + - -+ + + S ˆn e + + +2 d + -
r < R0 导体内部 R0 < r < R1，r1 内
E1 = 0 P1 = 0
R0
R1
r1
0
r2
S
E2
Q 4π 0 r1r
e ˆ 2 r Q 4π 0 r1r e ˆ 2 r
[例] 一无限大各向同性均匀介质平板，厚度为 d， 相对介电 常数为 r，内部均匀分布体电荷密度为 0 的自由电荷。 求：介质板内、外的 D 、E 、 P 。 ， r 0 垂直于平板。 解：带电体有面对称，故 D 、 E、P d 以 x = 0 处的面为对称，过场点作正柱形 高斯面 S， 设底面积为 S0
q q
D
n
R r高
斯 面
P n P cos π P， q 4πR2 1 r 1q，q q
1 1 q P D 0E D 0 1 D 1 2 0 r r r 4πR D
在一点电荷产生的静电场中，一块电 介质如图放置，以点电荷所在处为球 心作一球形闭合面，则对此球形闭合 面： (A) 高斯定理成立，且可用它求出闭 合面上各点的场强。 (B) 高斯定理成立，但不能用它求出 闭合面上各点的场强。 (C) 由于电介质不对称分布，高斯定 理不成立。 (D) 即使电介质对称分布，高斯定理 也不成立。
可见，当带电体周围充满电介质时，场强减弱为真空 时的 1 r 倍。
一导体球外充满相对介电常数为 εr 的均匀电介质，若测得导 体表面附近场强为 E，则导体球面上的自由电荷面密度 σ 为 (A) ε0 E (B) ε0 εr E (C) εr E
(D) (ε0 εr - ε0)E
B
在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介 质板，如图所示。当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电 介质中的场强 E 与空气中的场强 E0 相比较，应有 (A) E＞E0，两者方向相同。 (B) E＝E0，两者方向相同。 (C) E＜E0，两者方向相同。 (D) E] 带电金属球 (R，q)，浸在油中 (r)，求球外的场 强及金属球表面处油面上的束缚电荷 q´。
解：在介质内作高斯面 S
S
D dS q
dS +
+ + + +
+
由对称性 D dS D4π r 2 q S + r q D q D e ˆ E e ˆr 2 r 2 4π r 4π 0 r r q´另一 1 E E0 E q q 1 种解法 r 见下页 q q q r 1 (q 与 q´反号) 2 2 4π 0 r r 4π 0 r 4π 0 r 2 q q
2 0 2 2 E1 E2 E0 0 1 r 0 1 r 2 2 U E 2d E0d U0 1 r 1
[例] 导体球 (Q) 置于均匀各向同性介质中，如图示 求： 场的分布。
0 r R0 解： 1) 作高斯面 S D dS R2 S Q r R0 2 由对称性 D dS D4π r S r R0 0 D Q r R0 2 4πr
S
D dS q0 int =0 S = 2DS 0 D dS D dS D dS
侧 两底
S
S0
0x
D 0 x
X
d x 2 d x 2
2 DS0 0 2 x S0
2 DS0 0 S0d
D
0
2
d
左 右
S
D1 dS D1S 1S
0
侧
D1 1
1 E1 0 r
2 E2 0
=
+0 - 0 + + + +1 S + - -+ + - -+ + + S ˆn e + + +2 d + -
= 0
U E1d E2d E1 E2
r + S R + +
+
[例] 一个带正电的金属球，半径为 R，电量为 q，浸 在油中，油的相对介电常数为 r，求球外的电场 分布以及贴近金属球表面上的束缚电荷 q。
解：利用 D 的高斯定理
q 2 ， S D dS q， D 4πr q， D 2 4πr q D q ˆ， E ˆ D r r 2 2 0 r 4π 0 r r 4πr
C
[例] 两平行放置的金属板间原为真空，分别带等量异号电荷 +0、-0，板间电压为 U0，保持板上电荷不变，将板间 一半空间充入介质 (r)，求：板间电压。 解：作高斯面
S
D1 dS q0 int
S
D1 dS D1 dS D1 dS D1 dS