上海市闵行区2017届高三4月质量调研考试(二模)数学试卷一、填空题:共12题1.方程3log (21)2x +=的解是________. 2.已知集合{||1|1}M x x =+≤,{1,0,1}N =-则MN =________.3.若复数12i z a =+,22i z =+(i 是虚数单位),且12z z 为纯虚数,则实数a =________.4.直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)对应的普通方程是________.5.若1*(2)(n ,3)n n n x x ax bx c n -+=++++∈≥N …,且4b c =,则a 的值为________. 6.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是________.7.若函数()2()1x f x x a =+-在区间[0,1]上有零点,则实数a 的取值范围是________. 8.在约束条件|1||2|3x y ++-≤下,目标函数2z x y =+的最大值为________.9.某学生在上学的路上要经过2个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______. 10.已知椭圆2221(01)y x b b+=<<,其左、右焦点分别为1F 、2F ,12||2F F c =.若此椭圆上存在点P ,使P到直线1x c=的距离是1||PF 与2||PF 的等差中项,则 的最大值为________. 11.已知定点(1,1)A ,动点P 在圆221x y +=上,点P 关于直线y x =的对称点为P ',向量AQ OP =,O 是坐标原点,则||PQ 的取值范围是________.12.已知递增数列{}n a 共有2 017项,且各项均不为零,20171a =,如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ,当i j <时,j i a a -仍是数列{}n a 中的项,则数列{}n a 的各项和2017S =________. 二、选择题:共4题13.设a 、b 分别是两条异面直线1l ,2l 的方向向量,向量a ,b 的夹角的取值范围为A ,1l 、2l 所成的角的取值范围为B ,则“a A ∈”是“a B ∈”的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件14.将函数πsin()12y x =-图像上的点π(,)4P t 向左平移(0)s s >个单位,得到点P ',若P '位于函数sin 2y x =的图像上,则( )A .12t =,s 的最小值为π6B .t =,s的最小值为π6C .12t =,s的最小值为π12D .t =,s的最小值为π1215.某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如下图所示(收支差额 车票收入 支出费用),由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议:建议(Ⅰ)不改变车票价格,减少支出费用;建议(Ⅱ)不改变支出费用,提高车票价格,下面给出的四个图形中,实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系,则( )A .①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ)B .①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)C .②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)D .④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)16.设函数()y f x =的定义域是R ,对于以下四个命题: (1)若()y f x =是奇函数,则(())y f f x =也是奇函数; (2)若()y f x =是周期函数,则(())y f f x =也是周期函数;(3)若()y f x =是单调递减函数,则(())y f f x =也是单调递减函数;(4)若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数1()()y f x f x -=-有零点,则函数()y f x x =-也有零点.其中正确的命题共有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个三、解答题:共5题17.直三棱柱111ABC A B C -中,底面 为等腰直角三角形,AB AC ⊥,==2AB AC ,1=4AA ,M 是侧棱1CC 上一点,设=MC h .(1)若1BM AC ⊥,求 的值; (2)若2h =,求直线1BA 与平面ABM 所成的角.18.设函数()2x f x =,函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称. (1)若()4()3f x g x =+,求x 的值;(2)若存在[0,4]x ∈,使不等式()(2)3f a x g x +--≥成立,求实数a 的取值范围.19.如图所示,PAQ ∠是某海湾旅游区的一角,其中120PAQ ︒∠=,为了营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ,其中AB 是宽长廊,造价是800元/米,AC 是窄长廊,造价是400元/米,两段长廊的总造价为120万元,同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D处建一个观光平台,并建水上直线通道AD (平台大小忽略不计),水上通道的造价是1 000元/米.(1)若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目,要求ABC △的面积最大,那么AB 和AC 的长度分别为多少米?(2)在(1)的条件下,建直线通道AD 还需要多少钱?20.设直线 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ,与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.(1)若AOB △是正三角形(O 为坐标原点),求此三角形的边长; (2)若4r =,求直线 的方程;(3)试对(0,)r ∈+∞进行讨论,请你写出符合条件的直线 的条数(只需直接写出结果). 21.已知()y f x =是R 上的奇函数,(1)1f -=-,且对任意(,0)x ∈-∞,1()()1xf x f x x =-都成立. (1)求1()2f -、1()3f -的值;(2)设*1()()n a f n n=∈N ,求数列{}n a 的递推公式和通项公式;(3)记121321n n n n n T a a a a a a a a --=+++…,求1lim n n nT T +→∞的值.上海市闵行区2017届高三4月质量调研考试(二模)数学试卷答 案1.4x = 2.{1,0} 3.14.10x y +-= 5.16 6.7.1[,1]2-8.9 9.2910.211. 12.1 009 13.C 14.A 15.B 16.C17.解:(1)以A 为坐标原点,以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则(2,0,0)B ,1(0,0,4)A ,(0,2,0)C ,(0,2,)M h ,(2,2,)BM h =-,1(0,2,4)A C =-由1BM AC ⊥得10BM A C =,即2240h ⨯-= 解得1h =.(2)法一:此时(0,2,2)M ,(2,0,0)AB =,(0,2,2)AM =,1(2,0,4)BA =- 设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩,所以(0,1,1)n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ,则11||sin =||||2n BA n BA θ=θ=所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为法二:联结1A M ,则1A M AM ⊥,∵AB AC ⊥,1AB AA ⊥,∴AB ⊥平面11AA C C ,∴1AB A M ⊥,∴1A M ⊥平面ABM ,所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角; 在1Rt A BM △中,1A M =,1A B =111sinA M A BM AB ∠=== 所以1A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为18.解:(1)由()4()3f x g x =+得2423x x -=+223240x x ⇒--=,所以21x =-(舍)或24x =,所以2x =.(2)由()(2)3f a x g x +--≥得2223a x x +-≥,22232232a x x a x x +--+⇒≥+而23223x x -+≥232x x-=,即4log 3[0,4]x =∈时取等号所以2a ≥211log 32a ≥+.19.解(1)设AB 长为x 米,AC 长为y 米; 依题意得8004001200000x y +=,即23000x y +=,221332=sin1202()22ABC x y S x y x y ︒+=≤=△ 当且仅当2x y =,即750x =,1500y =时等号成立,所以当ABC △的面积最大时,AB 和AC 的长度分别为750米和1500米 (2)法一:在(1)的条件下,因为750AB m =,1500AC m =.由2133AD AB AC =+ 得222221441()+33999AD AB AC AB AB AC AC =+=+224411750+7501500()15002500009929=⨯⨯⨯⨯-+⨯= ∴||500AD =,1000500500000⨯=元 所以,建水上通道AD 还需要50万元.法二:在ABC △中,cos120BC AC7在ABD △中,222cos 2AB BC AC B AB AC +-===在ABD △中,AD =277)500== 1000500500000⨯=元所以,建水上通道AD 还需要50万元.解法三:以A 为原点,以AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则(0,0)A ,(750,0)B ,(1500cos120,1500sin120)C ︒︒,即(C -,设00(,)D x y由2CDDB =,求得00250x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以D所以,||500AD =1000500500000⨯=元所以,建水上通道AD 还需要50万元.20.解:(1)设AOB △的边长为a ,则A 的坐标为1(,)22a ±所以21()42a ±=所以a =此三角形的边长为 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时,1x =,9x =符合题意当0k ≠时,224404x ky by ky b y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 216()0k b =+>△,124y y k +=,221242(2,2)x x k b M k b k +=+⇒+∵1AB CM k k =-,1AB k k =,∴2223225CM kk k b k k b ==-⇒=-+- ∴22216()16(3k )003k b k =+=->⇒<<△∵4r ===23(0,3)k =∉,舍去综上所述,直线 的方程为:1x =或9x =(3)(0,2][4,5)r ∈时,共2条;(2,4)r ∈时,共4条;[5,)r ∈+∞时,共1条.21.解:(1)对等式1()()1x f x f x x =-,令11(1)()12x f f =⇒-=-=-,所以1()12f -=- 令1111()2()2()2233x f f f =-⇒-=-=-,所以11()32f -=-(2)取1x n =-,可得111()()1f f n n n =--+,即111()()1f f n n n =+,所以*11()n n a a n n+=∈N 而1(1)(1)1a f f ==-=所以数列{}n a 的递推公式为11a =,*11()n n a a n n+=∈N 故1321221111111122(1)!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---===---…所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-(3)由(2)1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++…得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(n 3)!(1)!0!n T n n n n =+++++-----…1(1)!(1)!(1)!1!(2)!2!(3)!(2)!1!n n n n T n n n n ---⇒=+++++---- (1)1232111111112[](1)!(1)!n n n n n n n n n n T n n ---------⇒=++++++=--…痧痧痧 12!nn T n +⇒= 则12lim lim 0n n n n T T n+→∞→∞==上海市闵行区2017届高三4月质量调研考试(二模)数学试卷解析1.本题考查对数函数.,即,解得.即方程的解是.2.本题考查集合的基本运算.由题意得;而,,,所以,. 3.本题考查复数的概念与运算.=,其为纯虚数,所以,解得=1.4.本题考查直线的参数方程.削去参数,可得;即直线对应的普通方程是.5.本题考查二项式定理.()展开式的通项公式,令,可得;令,可得;而,即,解得;即()展开式的通项公式,令,可得.【备注】二项展开式的通项公式:.6.本题考查三视图,空间几何体的表面积.由三视图可得该空间几何体为圆锥;该几何体的侧面积().7.本题考查函数与方程.因为函数()在区间,上有零点,则()()=()(),解得.即实数的取值范围是,.8.本题考查线性规划问题.画出可行域,如图四边形所示;(,),(,),(,),(,).当过点时,目标函数取得最大值.9.本题考查互斥事件的概率.由题意得所求的概率()=.10.本题考查椭圆的标准方程与几何性质,等差数列.由题意得:该椭圆为焦点在轴的椭圆,且;而到直线的距离是与的等差中项,所以到准线的距离,即;而,即,解得;而,所以,解得.即的最大值为.【备注】椭圆(),,焦点(,)..11.本题考查平面向量的数量积、平面向量的线性运算.令(,),而点关于直线的对称点为,所以(,),(,);而,所以(,);而(,),所以(,);所以(,),=();而动点在圆上,所以(),所以(),即,所以的取值范围是,. 12.本题考数列的概念与求和.由题意得,若,则,所以,且上述每项均在数列中;所以,,,,即=====1;所以,所以.13.本题考查充要条件,两直线的位置关系.由题意得,,(,;所以“”是“”的必要不充分条件.选C.14.本题考查三角函数的图象与性质.由题意得,排除B,D;平移后(,),而位于函数的图象上,所以,而,则的最小值为,排除C.选A.15.本题考查函数的图像与性质.令车票价格为,支出费用为,则收支差额();若按建议(Ⅰ),令减少后的支出费用为,,则,则其对应的为图①;若按建议(Ⅱ),令提高后的车票价格为,,则,则其对应的为图③;所以①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ).选B.16.本题考查函数的性质,函数与方程.(1)因为()是奇函数,所以();则(())=(())=(()),所以(())也是奇函数,即(1)正确;(2)因为()是周期函数,所以();则(())=(()),所以(())也是周期函数,即(2)正确;(3)因为()是单调递减函数,所以(())是单调递增函数,即(3)错误;(4)若函数存在反函数,且函数有零点,即与()有交点,则交点一定在上,所以与亦有交点,即函数()也有零点.(4)正确;所以正确的命题有(1)(2)(4),共有3个.选C.17.本题考查线面垂直,空间向量的应用.(1)建立恰当的空间直角坐标系,(,,),(,,),而,所以,解得.(2)(,,),求得平面的法向量(,,),求得,所以直线与平面所成的角为.18.本题考查指数函数、反函数.(1)由()()得,解得.(2)由()()得;而,所以,即. 19.本题考查解三角形,正余弦定理,三角形的面积公式.(1)设长为米,长为米;依题意得,=(),即,时等号成立,所以当的面积最大时,和AC的长度分别为750米和1500米;(2)由余弦定理得,,在中,,元,所以建水上通道还需要万元.20.本题考查抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)设的边长为,由题意得(),解得.(2)当时,,符合题意;当时,联立方程,套用根与系数的关系求得:(,),舍去;综上所述,直线的方程为,.(3)(,,)时,共2条;(,)时,共4条;,)时,共1条.21.本题考查函数的性质,数列的通项与求和.(1)令求得();令,求得();(2)取得,而累乘得().(3)由(2)()代入得(),,所以.。