2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题,共25题；2．答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题,每题4分,满分24分）【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1． 下列实数中,是有理数的为（ ）A ；B ；C ．π；D ．0．2． 当0a >时,下列关于幂的运算正确的是（ ）A ．01a =；B ．1a a -=-；C ．()22a a -=-；D ．1221a a =．3． 下列y 关于x 的函数中,是正比例函数的为（ ）A ．2y x =；B ．2y x =；C ．2x y =；D ．12x y +=．4． 如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是（ ）A ．4；B ．5；C ．6；D ．7．5． 下列各统计量中,表示一组数据波动程度的量是（ ）A ．平均数；B ．众数；C ．方差；D ．频率．6． 如图,已知在⊙O 中,AB 是弦,半径OC AB ⊥,垂足为点D ,要使四边形OACB 为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是（ ）A ．AD BD =；B ．OD CD =；C ．CAD CBD ∠=∠； D ．OCA OCB ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题,每题4分,满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7． 计算：22-+= ．8． 2的解是 ．9． 如果分式23x x +有意义,那么x 的取值范围是 ．10．如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根,那么m 的取值范围是 ．11．同一温度的华氏度数()y F 与摄氏度数()x C 之间的函数关系是9325y x =+．如果某一温度的摄氏度数 是25C ,那么它的华氏度数是 F ．12．如果将抛物线221y x x =+-向上平移,使它经过点A （0,3）,那么所得新抛物线的表达式是 ．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动,首次活动需要7位同学参加,现有包括小杰在内的50位 同学报名,因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位,小杰被抽到参加此次活动的概率是 ．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁．15．如图,已知在△ABC 中,D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点,AB m =,AC n =,那么向量DE 用向 量m 、n 表示为 ．16．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点,AE AD =,过点E 作AC 的垂线,交边CD 于点F ,那 么FAD ∠= 度．17．在矩形ABCD 中,5AB =,12BC =,点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交,且点B 在⊙D 内,那么 ⊙D 的半径长可以等于 ．（只需写出一个符号要求的数）18．已知在△ABC 中,8AB AC ==,30BAC ∠=．将△ABC 绕点A 旋转,使点B 落在原△ABC 的点C 处,此时点C 落在点D 处．延长线段AD ,交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ,那么线段DE 的长等于．三、解答题：（本大题共7题,满分78分）19．（本题满分10分）先化简,再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++,其中1x ．20．（本题满分10分）解不等式组：4261139x xx x>-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩,并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分）已知,如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数43y x=的图像经过点A,点A的纵坐标为4,反比例函数myx=的图像也经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上,过点B作BC∥x轴,交y轴于点C,且AC AB=．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．22．（本题满分10分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分）如图,MN 表示一段笔直的高架道路,线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米,BA 的延长线与MN 相交于点D ,且30BDN ∠=,假设汽车在高速道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线,垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶,当汽车到达点P 处时,噪音开始影响这一排的居民楼,那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板,当汽车行驶到点Q 时,它与这一排居民楼的距离QC 为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：1.7）23．（本题满分12分,第（1）小题满分6分,第（2）小题满分6分）已知：如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,点E 在边BC 的延长线上,且OE OB =,联结DE ．（1）求证：DE BE ⊥；（2）如果OE CD ⊥,求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．24．（本题满分12分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分4分,第（3）小题满分4分）已知在平面直角坐标系xOy 中（如图）,抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,AB =P 在抛物线上,线段AP 与y 轴的正半轴相交于点C ,线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长度；（3）当32tan ODC ∠=时,求PAD ∠的正弦值．25．（本题满分14分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分5分,第（3）小题满分5分）已知：如图,AB 是半圆O 的直径,弦CD ∥AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ,与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合）,20AB =,45cos AOC ∠=．设OP x =,△CPF 的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域；（3）当△OPE 是直角三角形时,求线段OP 的长．2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、 选择题1、D ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C ；6、B二、 填空题7、4； 8、2； 9、3x ≠- ； 10、4m <- ； 11、77； 12、223y x x =++ ； 13、750；14、14； 15、1122m n -+ ； 16、22.5； 17、14等（大于13且小于18 的数）； 18、4． 三、 解答题19．解：原式2221=(2)2x x x x x x +-⋅-++ 122x x x x -=-++ 12x =+当1x =时,原式==1=20．解：由426x x >-,得3x >-由1139x x -+≤ ,得2x ≤ ∴ 原不等式组的解集是32x -<≤.x21．解：（1）∵正比例函数43y x =的图像经过点A ,点A 的纵坐标为4,∴443x = ∴3x = ∴点A 的坐标是(3,4)∵反比例函数的图像经过点A ,∴43m = ,12m =∴反比例函数的解析式为12y x =（2）∵AC AB =,∴点A 在线段BC 的中垂线上.∵BC x ∥轴,点C 在y 轴上,点A 的坐标是(3,4),∴点B 的横坐标为6.∵点B 在反比例函数的图像上,∴点B 的坐标是(6,2).设直线AB 的表达式为y kx b =+ ,将点A 、B 代入表达式得：4326k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得236k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的表达式为263y x =-+.22．解：（1）联结AP .由题意得 ,15(),39()AH MN AH m AP m ⊥==.在Rt APH ∆中,得36()PH m =.答：此时汽车与点H 的距离为36米.（2）由题意可知,PQ 段高架道路旁需要安装隔音板,QC AB ⊥, 30,39()QDC QC m ∠=︒=.在Rt DCQ ∆中,278()DQ QC m ==.在Rt ADH ∆中,cot 30)DH AH m =⋅︒=,∴11415 1.788.589()PQ PH DH DQ m =-+≈-⨯=≈. 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.23．证明：（1）∵,OE OB OBE OEB =∠=∠.∵平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,∴OB OD =. ∴OE OD =. ∴ODE OED ∠=∠.在BDE ∆中,∵180,OBE OEB OED ODE ∠+∠+∠+∠=︒ ∴090,OEB ED BED ∠+∠=∠=︒ 即DE BE ⊥.（2）∵OE CD ⊥,∵90CDE DEO ∠+∠=︒.又∵90,.CEO DEO CDE CEO ∠+∠=︒∴∠=∠,.OBE OEB OBE CDE ∠=∠∴∠=∠在DBE ∆和CDE ∆中：OBE CDE BED DEC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴.DBE CDE ∆∆∽∴.BD DE CD CE =∴ BD CE CD DE ⋅=⋅24．（1）由抛物线24y ax =-与y 轴相交于点B , 得点B 的坐标为(0,-4)∵ 点A 在x 轴的负半轴上, AB = ∴ 点A 的坐标为(-2,0) ∵ 抛物线24y ax =-与x 轴相交于点A , ∴1a =∴ 这条抛物线的表达式为24y x =-（2）∵点P 在抛物线上,它的横坐标为m ,∴ 点P 的坐标为2(,4)m m - 由题意,得点P 在第一象限内,因此20,40m m >->过点P 作PH ⊥x 轴,垂足为H ∵ CO ∥PH , ∴CO AO PH AH= ∴2242CO m m =-+, 解得24CO m =- （3）过点P 作PG ⊥y 轴,垂足为点G∵ OD ∥PG , ∴OD BO PG BG= ∴ 24OD m m =, 即4OD m= 在Rt △ODC 中, ∵3tan 2CO ODC OD ∠== ∴ 42(24)3m m-=⋅, 解得3m =或1m =-（舍去）. ∴ CO =2在Rt△AOC中,AC=∴sin2COOACAC∠==,即∠PAD的正弦值为225 ．（1）证明：联结OD∵CD∥AB, ∴∠C＝∠AOP∵OC＝OD, ∴∠C＝∠D, ∴∠AOP＝∠D,又∵AO＝OD, OP＝DQ, ∴△AOP≌△ODQ, ∴AP＝OQ （2）解：∵CD∥AB, ∴∠CFP＝∠A∵△AOP≌△ODQ, ∴∠A＝DOQ, ∴∠CFP＝∠DOQ又∵∠C＝∠D, ∴△CFP∽△DOQ∴2 CFPDOQS CP S DQ ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭过点O作OH⊥CD,垂足为点H.∵4cos cos5C AOC=∠=,1102OC OA AB===∴CH=8,OH=6,CD=16∴116322DOQS DQ OH x x ∆=⋅⋅=⨯=∵CP=10-x, ∴2103y x x x-⎛⎫= ⎪⎝⎭∴所求函数的解析式为23(10)xyx-=,即2360300x xyx-+=,定义域为501013x<<（3）解：∵CD∥AB, ∴∠EOA＝∠DQO又∵∠A＝∠DOQ, ∴∠AEO＝∠D≠90°所以当△OPE是直角三角形时,只可能是∠POE＝90°或∠OPE＝90°①当∠POE＝90°时,在RT△OCQ中,4cos5OCOCQCQ∠==, ∴252CQ=∵CD=16, ∴72 OP DQ==∵750213OP=<, 所以72OP=不合题意,舍去.②当∠OPE＝90°时,得∠DQO＝∠OPA＝90°∵点Q为CD的中点,∴182OP DQ CD===综上所述：当△OPE是直角三角形时,线段OP的长是8.。