【例４】(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代
的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中
心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
1
π
A.4
B.8
1
π
C.2
D.4
思路分析：本题以古代的太极图为背景，考查几何概型的概率 计算，通过审题，要弄清太极图的特征，得到黑色部分的面积所占 的比例，然后进行计算．
解：在正方形内随机取一点，试验的全部结果构成了正方形 ABCD 围成的区域．设 A 表示事件“在正方形内随机取一点，则此 点取自黑色部分”．
不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1， S 正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，
得 S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2， π
解：设 1534 石米内夹谷 x 石，则由题意知15x34≈22584， 解得 x≈153245×4 28≈169. 故这批米内夹谷约为 169 石．
答案：B
试题赏析：本题考查样本估计总体的统计知识，却自然地 将数学史作为一种数学文化融入高考，让试卷平添几分文 化色彩与气息．同时，该题也让教师和学生更加关注数学 史，关注统计中的数学文化．
试题源于古代数学名著《九章算术》中的“米谷粒 分”，渗入其中的是我国古代数学中最朴实的统计思想， 能使学生接受数学文化的熏陶，领略数学思想方法的魅 力，领会统计思想在现实生活中的应用，形成直接应用数 学知识指导社会实践，解决生活、生产问题的意识.
【例２】(2018·全国卷Ⅱ·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研
数学文化与概率统计
1．《张邱建算经》 《张邱建算经》分上、中、下三卷，北魏数学家张邱建 著．《张邱建算经》的主要贡献有以下三方面：一是提出求最 小公倍数的算法；二是提出计算等差级数的公式；三是“百 鸡问题”首创不定方程的研究，对后世影响深远．
2．《算学启蒙》与《四元玉鉴》 《算学启蒙》是中国元代数学家朱世杰撰，分上中下三卷， 20 门，259 问．卷上 8 门，113 问，包括各种乘除捷算法和歌诀 的应用题，以及各种比例算法．许多问题反映了元代的社会经济 情况．卷中 7 门，71 问，是面积、体积及各种算术问题．卷下 5 门，75 问，是关于分数运算、垛积(即高阶等差级数求和)、盈不 足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题，还处理了 开方过程中系数变号的问题．
1．在古代文明典籍中，常有占卜、赌博等活动的记载，这说明人 类接触各种概率问题已经有长达数千年的时间了．《九章算术》中的“米 谷粒分”就反映了我国古代数学中最朴实的统计思想．将数学文化与概 率知识相结合，全国卷对此作出了很多有益的尝试，取得了良好的社会 影响．如 2016 年全国卷Ⅱ第 10 题利用随机模拟方法估计 π 的近似值； 2017 年全国卷Ⅰ第 2 题利用“太极图”考查几何概型的计算；2018 年 全国卷Ⅰ以古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形为背景考查几 何概型的计算；2018 年全国卷Ⅱ第 8 题以我国近代数学家陈景润的研 究为背景，考查古典概型的计算等都是优秀的传统文化与概率知识进行 结合考查的成功范例．
究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表
示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两
个不同的数，其和等于 30 的概率是( )
1
1
A.12
B.14
1
1
C.15
D.18
思路分析：先弄清不超过 30 的素数有哪些，然后通过列举，得 到基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，利用古典概型的 概率公式进行求解．
马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等
马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马
匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )
1
1
A.3
B.4
1Hale Waihona Puke 1C.5D.6
思路分析：本题以田忌赛马为背景考查古典概型的计算，可采 用列举法，由于马与马之间有优劣，列举时，可通过赋值的方法来 实现．
解：不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个， 随机选取两个不同的数，列举如下：
{2,3}，{2,5}，{2,7}，{2,11}，{2,13}，{2,17}，{2,19}，{2,23}， {2,29}，
{3,5}，{3,7}，{3,11}，{3,13}，{3,17}，{3,19}，{3,23}，{3,29}， {5,7}，{5,11}，{5,13}，{5,17}，{5,19}，{5,23}，{5,29}， {7,11}，{7,13}，{7,17}，{7,19}，{7,23}，{7,29}，
《算学启蒙》是一部很好的数学教材，它把当时的初级 和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比例、 开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类， 由浅入深，循序渐进，自成系统，确是一部很好的数学启蒙 读物．
《四元玉鉴》是朱世杰论垛积术与四元术的杰出著作．全 书分上中下三卷，24 门，288 问．《四元玉鉴》最重要的内容 和最突出的成就，一是“四元消法”，即高次方程组消去法 问题；二是关于高阶等差级数的有限项求和问题．此二项在 中国数学史上占有极重要地位，同时比国外的同类成果也要 早几百年．
12×1×1＋21× 2× 2＝32， 所以从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率
3 是28＝136.
答案：C
试题赏析： 本题以中国传统智力游戏为背景，贴近学 生实际生活．通过本题的求解，使学生体会概率在生活中 的应用．从中国传统智力游戏选取素材考查数学问题，丰 富了数学文化的取材途径.
试题赏析： “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的 和”是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690－1764)于 1742 年 6 月 7 日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥 德巴赫猜想.18、19 世纪，所有的数论专家对这个猜想的证 明都没有作出实质的推进，直到 20 世纪才有所突破.1966 年， 我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功 地地证明了“1＋2”，也就是“任何一个大偶数都可以表示 成一个素数与另一个素因子不超过 2 个的数之和”．
【例 1】(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”
题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，
数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
思路分析：由样本的频率估计总体的频率，254 粒和 1534 石中 夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计．
1
1
A.8
B.4
3
3
C.16
D.8
思路分析：本题考查几何概型的计算，其关键是计算阴影部分
的面积，求解时，要充分利用图形的对称性． 解：设 4 号板正方形的边长为 1，则 5 号板直角边长为 1,3 号板
斜边长为 2，7 号板斜边长为 2，直角边长为 2，则大正方形边长 为 2 2，
则大正方形的面积为 2 2×2 2＝8， 5 号板与 7 号板的面积之和为
所以由几何概型知所求概率为 P(A)＝SS正方黑形＝24＝π8. 答案：B
试题赏析：“太极”是中国古代的哲学术语，意为派生 万物的本源，太极图形象地表达了阴阳轮转、相反相成是 万物生成变化根源的哲理．本题以此为情境设计了一个简 单的概率问题，学生运用所学的知识可以较容易地解决问 题，试题不仅考查几何概型的计算，同时也引导师生重视 我国传统文化的学习，关注生活中的数学问题，增强数学 的应用意识.
【例 5】 (2018·济南市模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏， 被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中 1 号 板和 2 号板为两个全等的等腰直角三角形，3 号板与 5 号板为两个全等的 等腰直角三角形，7 号板为一个等腰直角三角形，4 号板为一个正方形，6 号板为一个平行四边形．现从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影 部分的概率是( )
{11,13}，{11,17}，{11,19}，{11,23}，{11,29}， {13,17}，{13,19}，{13,23}，{13,29}， {17,19}，{17,23}，{17,29}， {19,23}，{19,29}， {19,29}， 故共有 9＋8＋7＋…＋2＋1＝1＋2 9×9＝45 种． 而和为 30 的有{7,23}，{11,19}，{13,17}这 3 种情况， 所以所求概率为435＝115.
试题赏析：田忌赛马出自《史记》卷六十五：《孙子吴 起列传第五》，故事的主角是田忌、孙膑和齐威王，是中 国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的 短处，从而在竞技中获胜的事例．本题是以“田忌赛马” 为背景的数学文化试题，考查了古典概型的知识，从理论 上得出了“田忌赛马”田忌获胜的可能性，从而弘扬了中 国传统文化，也有利于学生进一步了解孙子兵法虚实理 论，加强对“知彼知己，百战不殆”的军事思想的认识.
2．求解文化与概率结合的数学问题，其关键是审题，将其转化为 相关的概率知识进行求解．
解：设齐王的上、中、下三个等次马分别为 1,3,5，田忌的上、 中、下三个等次马分别为 2,4,6，
记齐王的马匹为 A＝{1,3,5}，田忌的马匹为 B＝{2,4,6}． 从集合 A，B 中各抽取一个数字，共有 9 种： {1,2}，{1,4}，{1,6}，{3,2}，{3,4}，{3,6}，{5,2}，{5,4}，{5,6}． 其中田忌获胜的三种：{3,2}，{5,2}，{5,4}． 故所求概率为13. 答案：A
这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗“数学王 冠上的明珠”仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动．“1＋2” 也被誉为陈氏定理．