电流i与电压源电压 u是同频率的正弦量
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di 1 Ri L idt u 若u 2U cos(t u ) dt C 电流i 一定是与电压源电压u 同频的正弦量, 设
第8章
相量法
8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法基础 8.4 电路定理的相量形式
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1 1
重点： 1. 正弦量的三要素 2. 相量法 3. 电路定律的相量形式 难点：
相量法的理解
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正弦交流电路
激励为同频正弦量的线性电路称为正弦交流ห้องสมุดไป่ตู้路。
正弦交流稳态电路 达到稳定状态的正弦交流电路。
研究正弦交流电路的意义
1 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分 重要的地位。
① 便于升压与降压。 ② 正弦量的求导、积分运算及同频正弦量的加减得到仍是 同频的正弦量，使得电路各处的电压电流波形相同。 ③ 正弦量变化平滑。
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1. 复数的表示形式
+j
②三角形式
欧 拉 ③指数形式 公 式
F | F | (cos j sin )
a | F | cos b b | F | sin
j
F |F|

o a +1
e j e j cos 2
e j e j sin 2j
F1+F2
F2 F1
+j
F1+F2
F2 F1 +1 F2
o 图解法
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+1
o
F1-F2
F1-F2
-F2
7 7
2. 复数运算
②乘除运算 —— 采用极坐标（指数）形式 若 则:
F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
F1 F2 F1 e F2 e F1 F2 e
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问题的提出
di 1 Ri L idt u dt C d 2uC duC LC 2 RC uC u dt dt
+
-
R
i
L
+
u
uC
- C
电路方程是微积分方程
正弦量乘以或除以一实常数后仍得到同频的正弦量 正弦量经过微分、积分后仍得到同频的正弦量 同频的正弦量相加减后仍得到同频的正弦量
W RI T
2
W 0 Ri (t )dt
T 2
均方根值
I
1 T

T
0
i 2 dt
19 19
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周期电压有效值
U 1 T

T
0
u 2 dt
U=220V ， U=380V Um311V Um537V
正弦电流、电压的有效值
1 2 T Im 1 T 2 2 Im 0.707 I m I I m cos ( t i ) dt T 2 2 T 0 Um 0.707U m U 同理得： 2
结论
i2 (t ) 3 cos( π t 30 ) 100
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23 23
特殊相位关系
u i u O i
u i 90
ωt
0
u i i O
u
u i 90
电压滞后电流 90
0
电压超前电流 90
ωt 90°
90°
| |

>0， u超前i 角，或i 滞后 u 角, (u 比 i 先
到达最大值)；

<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角, i 比 u 先
到达最大值）。
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22 22
例 计算下列两正弦量的相位差。 解 两个正弦量 进行相位比 较时应满足 0 0 i22 (t ) 10 sin(100 πtt 150) ) 同频率、同 15 3cos( 300 100 π t0 ) 120 0 函数、同符 (150 30 0 ) (3) u1 (t ) 10 cos( 1 2 号，且在主 u2 (t ) 10 cos(200 π t 450 ) 不能比较相位差 i2 (t ) 10 cos( πt 1050 ) 值范围内进 100 0 (4) i1 (t ) 5 cos( π 0t 30 )0 100 0 行比较。 30 (105 ) 135 0
i 、I m、I； u 、 m、 U U
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4. 同频率正弦量的相位差
u U m cos( t u ) i I m cos( t i )
相位差
(t u ) (t i ) u i
等于初相位之差
(1) i1 (t ) 10 cos( π t 3π 4) 100 3π 4 ( π 2) 5π 4 0 i2 (t ) 10 cos( π t π 2) 100 5π 4 2π 3π 4 (2) i1 (t ) 10 cos(100 π t 30 0 )
b
+j F
F a jb
( j 1 为虚数单位)
|F|

o a 向量 +1
Re[F ] a
Im[ F ] b
复数可表示为从原点出发的一条有向线段
| F | a 2 b 2 复数的模（值）：
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复数的辐角： 2013-12-8
b θ arctan a
5 5
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2. 正弦量的三要素
(1)振幅(幅值 、最大值)Im
正弦量的振荡幅度
i(t)=Imcos( t+i)
i
Im
T T/2 π
2π
0
ωt
(2)角频率(角速度)ω 相位角变化的速度，反映正弦量变化快慢。
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2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
17 17
2. 正弦量的三要素
(3) 初相位i
i(t)=Imcos( t+i)
0时刻的相位，常用角度表示。
i
i>0
0
u
ωt
u<0
一般规定：| | 。
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3. 周期性电流、电压的有效值
与周期量热效应相等的直流定义为周期量 的有效值。 R R 直流 I 交流 i 物 理 意 义
特殊旋转因子
jF
+j
+1 0 π 逆转π/2 π e cos j sin j jF 2 2 顺转π/2 F π π -j , e 2 cos( π ) j sin( π ) j 2 2 2 转π
j π 2
π , 2
F
π ,
e
jπ
2. 复数运算
③ F的共轭 若 F= a + j b
F=|F| F *=|F| -
2 2
记
则:
F *= a – j b
*
模相同 角相反
2
FF (a jb) (a jb) (a b ) F
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) 有理化 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) 运算 a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 2 j 2 2 2 a2 b2 a2 b2
jθ1
+j
F1 F2
2
F1
F1 F2
|F1| θ1 θ2 |F2|
模相除 角相减
1
F2
2
o
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+1
9 9
2. 复数运算
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2
则:
可先将其变成极 坐标形式
F1 F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j (a1b2 a2b1 )
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例1
解
547 10 25 ?
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61

例2
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5
u i 0
u i u i O
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u i 180 0
u i u 电压电流反相 i
电压电流同相位
ωt
O
ωt
24 24
8.3 相量法的基础
1 什么是相量 2 什么是相量法 3 为什么引入相量法 4 如何引入相量法 5 引入相量法的优点 6 相量法的适用范围
cos( π) jsin( π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2 正弦量 1.正弦量 1. 正弦量
随时间按正弦（余弦） 规律进行周期变化的量。
i
波形
瞬时值表达式