设它的最优解是 ( D( k ) ,k ) (4) 检验是否满足
k ε 2
若满足则停止迭代，得到点X(k) ；否则，以D(k)为搜索方向，并转下
一步。
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(5) 解下述一维极值问题
λ k :min f ( X ( k ) λD( k ) )
0 λ λ
其中 P ( X ( k ) , rk ) 见(7-32)式或(7-33)式。
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（7-35）
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(5) 检验是否满足收敛准则
rk
j 1
l
l
1 ε (k ) g j (X )
或
rk log( g j ( X ( k ) )) ε
j 1
如满足上述准则，则以 X ( k ) 为原问题的近似极小解 X min ；否则，取
并在可行域R内部使其极小化，虽然R是一个闭集，但因极小点
不在闭集的边界上，因而实际上是具有无约束性质的极值问题 ，可借助于无约束最优化的方法进行计算。
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内点法的迭代步骤： (1) 取 r1 0 (例如取 r1 1)，允许误差 ε 0 (2) 找出一可行内点 X (0) R0 ，并令 k : 1
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1.1 引例
1）动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学 方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶 段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优性原理，把多阶 段过程转化为一系列单阶段规划。1957年出版了他的名著 《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 2）动态规划问世以来，在经济管理生产调度工程技术和最优控制 等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分 配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其他 方法求解更为方便。 3）虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化 问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性 规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策 莫 莉 水电与数字化工程学院 过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
第三章 动态规划(Dynamic Programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2015 年 6 月
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温
罚函数法
故
加入时间维度
知
引例
新
可行方向法
动态规划基本概念
离散动态规划
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可行方向法的迭代步骤如下：
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C4
4
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1.1 引例
实例2 生产计划问题
工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本1（千元），每次开工 的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千 件）。经调查，市场对该产品的需求量第一﹑二﹑三﹑四季度分 别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一﹑二季度将全年的需 求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对
则本阶段最优决策必然是D1→E，
B3
5 1 5
6 3 3
E
4
C3
距离 d (D1,E)=3，记 f (D1)=3。 f (D1)表示某阶段初从D1出发到终 点的最短距离。 如果旅行者的上一站起点为D2，则本阶段最优决策必然是D2→E， 距离 d (D2,E)=4，记 f (D2)=4。
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7 5
C1
1
D1
D2
3
E
4
d (C2 , D1 ) f ( D1 ) 6 3 min min 7 3 4 d (C2 , D2 ) f ( D2 )
如果从C3出发， 则最优选择为从C3到E的最短路线C3→D1→E，并记 f (C3)=6
d (C3 , D1 ) f ( D1 ) 3 3 min min 6 水电与数字化工程学院 d (C3 , D2 ) f ( D2 ) 3 4
此处
λ max λ g j ( X ( k ) λD( k ) ) 0, j 1, 2,

,l

(6) 令
X ( k 1) X ( k ) λ k D ( k ) k : k 1
转回第(2)步。
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罚函数法
本节介绍求解非线性规划问题的制约函数法。使用这 种方法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列 无约束极值问题，因而也称这种方法为序列无约束极小化 技术，简记为SUMT(sequential unconstrained minimization technique)。常用的制约函数基本上有两类： •惩罚函数(或称外罚函数(penalty function))：外点法
(3) 构造障碍函数，障碍项可采用倒数函数((7-32)式)，也可采用对数
函数(例如(7-33)式)。 (4) 以 X ( k 1) R0 为初始点，对障碍函数进行无约束极小化:
min P( X , rk ) P( X ( k ) , rk ) xR0 (k ) X X (rk ) R0
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1. f (D1)=3。 f (D2)=4。
B1
2 6 4 2. 联合考虑两个阶段的最优 3 2 5 C2 6 B2 选择。 A 从C1出发到E的最短路程(即 3 4 3 从C1到E的最短路线)为: 3 5 1 3 C1→D1→E，并记 f (C1)=4 B3 C 3 5 如果旅行者从C2出发， 则最优选择为从C2到E的最短路线C2→D2→E，并记 f (C2)=7
B1
2
6 5 B 32 A 2 4 3 5 1 水电与数字化工程学院 B3 5
7 5
C1
4
1
6 3 3 3
D1 D2
3
C2
E
4
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C3
1.1 引例
1.考虑一个阶段的最优选择。
B1
2
5 3
旅行者到达E点前，上一 站必然到达D1或D2。
A
B26 3 2 4Fra bibliotek7 5
C1
4
1
D1 D2
3
3
C2
如果上一站的起点为D1，
rk 1 rk (例如取 rk 1 rk /10 或 rk / 5 )，令 k : k 1，转向第（3）步。
根据情况，收敛准则也可采用不同形式，如：
X ( k ) X ( k 1) ε
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或
f ( X ( k ) ) f ( X ( k 1) ) ε
1 增广目标函数为： Fd k ( x ) x ln( x 1), x 1 k 用解析法求 Fd ( x ) 0 得无约束优化问题 min Fd ( x )
的最优解为：
当k无限增大时，x 从可行域内部趋于最优 解x * 1
2 k k 2k k x , 2k k
k
于第三﹑四季度才能上市的产品需付存储费，每季度每千件的存
储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制
定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生
产成本和存储费）最少。 水电与数字化工程学院
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1.1 引例
二.动态规划问题的解题思路
动态规划问题的解题思路是：将一个多阶段决策问题转化为依次求解多个单阶 段的决策问题，从而简化计算过程。这种转化的实现是从终点开始一步步进行 反推，这种算法称为反向算 法（动态规划问题的计算中大多采用反向算法）。 下面通过一个例题对该算法加以说明。 例：设有一个旅行者从A点出发，途中要经过B、C、D等处，最后到达终点E。 从A到E有很多条路线可以选择，各点之间的距离如图中所示，问该旅行者应该 选择哪一条路线，使从A到达E的总的路程为最短。
•障碍函数(或称内罚函数(barrier function))：内点法
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P( X ,M ) f ( X ) M min(0, g j ( X ))
j 1
l j 1
l
2
函数P(X,M)称为惩罚函数，其中的第二项 M ( g j ( X )) 称惩罚项。
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例 用障碍函数法求解极小化问题
min x 2 s .t . 1 x 0
1 取d k ，k 1,2,..., 采用对数形式的障碍函 数 k 1 解 取 Bd k ( x ) d k ln( x 1) k ln( x 1), x 1
2
B1
2
D1 6 4 3 5 B 32 C2 6 E A 2 1. f (D1)=3。 f (D2)=4。 3 4 4 D 2 2. 联合考虑两个阶段的最优 3 3 5 1 3 选择。 B3 C3 5 旅行者离终点E还剩两站时，他必然位于C1、C2或C3的某一点。
如果旅行者位于C1，则从C1到终点E的路线可能有两条： C1→D1→E或C1→D2→E 旅行者从这两条路线中选取最短的一条:
若对于某一个(惩)罚因子M，例如 M1 , X ( M1 ) ，就加大罚因子的值； R
随着M值的增加，惩罚函数中的惩罚项所起的作用随之增大， min P( X , M ) 的解X ( M ) 与约束集R的“距离”就越来越近。当
0 M1 M 2 Mk
趋于无穷大时，点列 X ( M k ) 从可行域R外趋于原问题(7-3)的极小点 X min
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B1
2 1. f (D1)=3， f (D2)=4 2. C1→D1→E， f (C1)=4 C2→D2→E， f (C2)=7 C3→D1→E， f (C3)=6 3. 联合考虑三个阶段的最优选择。 从B1到E的最优选择为： B1→C1→D1→E，记 f (B1)=11