接于⊙ ， 是 上的 接于⊙O，P是AB上的 ⌒ 一点， 一点，则∠APB= 。
A P B C
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 如图⊙ 两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。 求证：CE∥DF 求证：
D A 1 C E O1 B O 2 F
C
证明： 证明： 以AB为直径作⊙O， 为直径作⊙ ， 为直径作 ∵AO=BO， CO= 1AB, ，
2
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 在 上 为直径, 又∵AB为直径 为直径 ∴∠ACB=
1 ×180°= 90°. 2
为直角三角形. ∴ △ABC 为直角三角形
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有 A 怎样的关系？为什么？
2.若ABCD为圆内接四边形，则下列 2.若ABCD为圆内接四边形， 为圆内接四边形 B ） 哪个选项可能成立（
（A）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 1∶2∶3∶4 ∶∠B∶∠ ∶∠D ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （B）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 2∶1∶3∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （C）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 3∶2∶1∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （D）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 4∶3∶2∶1 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 求证 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） ．（提示 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆 ） 1 已知： 边上的中线， 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， CO= AB 为 边上的中线 且 2 求证： 为直角三角形. 求证： △ABC 为直角三角形
Q O B p
3、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°, 圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75° ABCD 则∠C= ° 4、已知四边形ABCD内接于⊙O,且 已知四边形ABCD内接于⊙ 且 ABCD内接于 A:∠B:∠ =2:3:4， 的度数. ∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数. 圆的内接四边形ＡＢＣＤ ＡＣ ＡＢＣＤ中 ＡＣ垂 5、圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂 直平分ＢＤ ＢＡＣ=40 °， ＢＤ,∠ 直平分ＢＤ ∠ＢＡＣ 则∠ＢＣＤ＝ ° 四边形ABCD内接于⊙O, 、CD的 内接于⊙ 6、四边形 内接于 O,BA、 的 延长线交于P,AD=２cm 延长线交于 ２cm,BC=３cm ＰＡ ３cm,ＰＡ cm， ＰＣ的长 的长. ＝４cm，求ＰＣ的长.
1）延长EF,是否有 ）延长 是否有 ∠E=∠BAD＝ ∠1 ？ ∠ ＝ 2) 延长 延长DF, 能否证明 3) ∠E＝∠２＝∠3？ ＝ ？
D A C O1 E B
A C O1 E B
2
O2 F
D
1
M
O2 3 F
D A
O
B
C
如图： 如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ BAD+BCD=360°
∴∠A＋ ∴∠A＋∠ C＝ 180° A °
D
同理∠ 同理∠B＋∠D＝180° 180°
定理 B
O
C
圆的内接四边形的对角互补。 圆的内接四边形的对角互补。
1.(1)四边形 四边形ABCD内接于⊙O，则 内接于⊙ ， 四边形 内接于 180° 若 ° 180° ∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若 ∠ ° ∠ 80° ° ∠B=80°，则∠ADC=____ ∠CDE=______ ° 100° °
O
B C
D
2已知：如图，四边形ABCD是 已知：如图， 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 平行四边形。 求证：四边形ABCD 求证：四边形ABCD 是矩形。 是矩形。 A B
O
D
C
例题
如图， 直径AB为 例 如图，⊙O直径 为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 直径 ， 为 ， 的平 分线交⊙ 于 ， 的长． 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 的长 是直径， 解：∵AB是直径， 是直径 C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． ° 在Rt△ABC中， △ 中
24.1.4
圆周角（ 圆周角（2）
• 回顾：圆周角定理及推论？ 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误： 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 同弧或等弧所对的圆周角相等（ 同弧或等弧所对的圆周角相等 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 相等的圆周角所对的弧相等（ 相等的圆周角所对的弧相等 3.90°圆周角所对的弦是直径（ √ ） °圆周角所对的弦是直径（ 4.直径所对的角等于 °（ × ） 直径所对的角等于90° 直径所对的角等于 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于 °（√ ） 长等于半径的弦所对的圆周角等于30° 长等于半径的弦所对的圆周角等于
新课讲解： 新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一 若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么， 个圆上，那么，这个多边形叫做圆 内接多边形， 内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆。 形的外接圆
D B E C B
O
C
A A F
O
D E
如图，四边形ABCD为 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 ABCD 为四边形ABCD的外接圆。 ABCD的外接圆 形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
(4)梯形 梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, 内接于⊙ 梯形 内接于 ∥
75° ° ∠B=750,则∠C=_____ 则
A D O B C
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。 圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。 ＿＿＿＿＿梯形
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3、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果 、如图，四边形 内接于⊙ 如果 内接于 的度数是（ ∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ） °则 的度数是 A A、115° B、130° 、 ° 、 ° O C、65° D、50° 、 ° 、 ° D B 4. 如图，等边三角形 如图，等边三角形ABC内 内 C
证明两条直线平行的方法很多， 证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是 通过证明同位角相等、内错角相等、 通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补等方法。 互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明 了CE ∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或 ， 者内错角相等证明结果？ 者内错角相等证明结果？
A 80 D E B C B A
100
D C
O
(2)四边形 四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 内接于⊙ ， 四边形 内接于 ° 则∠B=______∠D=______ 50° ∠ 130° ° ° (3)四边形 四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 内接于⊙ 四边形 内接于 ∠ 则 45° ° ∠A=_____,
B = AB − AC = 10 −6 =8 A C
2 2 2 2
O
B
∵CD平分∠ACB， 平分∠ ， 平分
∴ A D=∠ C . ∠C B D
∴AD=BD. 又在Rt△ 又在 △ABD中，AD2+BD2=AB2， 中
D
2 2 ∴A = B = D D A = B ×10 =5 2(cm ) 2 2
连结AB 连结AB ABFD是 ABEC接四边形 ∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E ∠F＋ 180° ∠E＋ ∠E＋∠F＝180° 180° CE∥DF
A 1 O 1 E B O 2 F D
C
巩固练习： 巩固练习：
如图， 1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接 四边形， 100° 四边形，已知∠BOD＝100°，求 的度数。 ∠BAD及∠BCD的度数。 A